Составление инвестиционного портфеля по Марковицу для чайников

В данном обзоре мы представим простой пример составления оптимального инвестиционного портфеля по Марковицу.

Введение в портфельную теорию

Портфельная теория Марковица была обнародована в 1952 году. Позже автор получил за нее Нобелевскую премию.

Целью модели является составление оптимального портфеля, то есть с минимальным риском и максимальной доходностью.

Как правило, решается две задачи: максимизация доходности при заданном уровне риска и минимизация риска при минимально допустимом значении доходности.

Доходность портфеля измеряется как средневзвешенная сумма доходностей входящих в него бумаг.

Составление инвестиционного портфеля по Марковицу для чайников


wi - доля инструмента в портфеле;

ri - доходность инструмента.

Риск отдельного инструмента оценивается как среднеквадратичное (стандартное) отклонение его доходности. Для расчета общего риска портфеля необходимо отразить совокупное изменение рисков отдельного инструмента и их взаимное влияние (через ковариации и корреляции – меры взаимосвязи).



?i – стандартное отклонение доходностей инструмента;

kij – коэффициент корреляции между I,j-м инструментом;

Vij – ковариация доходностей i-го и j-го финансового инструмента;

n – количество финансовых инструментов в рамках портфеля.

Таким образом, в рамках правильно подобранного портфеля риски снижаются за счет обратной корреляции инструментов. При этом устраняются не только специфические риски инструмента, но и снижается систематический (рыночный) риск.

Для составления портфеля решается оптимизационная задача. При этом в базовом виде использование заемных средств не предполагается, то есть сумма долей активов равняется единице, а доли эти положительны.

Минимизируем риск при минимально допустимом уровне доходности



Максимизируем доходность при заданном уровне риска



Пример расчетов в Excel

Оптимальный портфель содержит различные группы активов – акции, облигации, товарные фьючерсы и т.д. Так легче подобрать инструменты с отрицательной корреляцией и минимизировать риски.

В нашем примере будет использован более простой подход – составление портфеля из нескольких американских акций. Для эффекта диверсификации возьмем представителей различных секторов – платежную систему VISA, ритейлера Macy’s, технологичного гиганта Apple и телеком AT&T.

Сразу отмечу, что это лишь пример. Все эмитенты интересны, но для грамотного составления портфеля необходимо учитывать фундаментальные показатели, включая рыночные мультипликаторы, оценивать технические уровни для входа в позицию.

Этап 1. Выкачиваем котировки. Необходимо взять данные минимум за год. В нашем примере были взяты ежемесячные цены закрытия с 31.06.2017 по 31.05.2018.

Этап 2. Считаем доходности по каждой бумаге. Для простоты не будем учитывать эффект дивидендов.

Считаем доходность за каждый месяц по формуле натурального логарифма. К примеру, доходность VISA за май 2018 = LN(C14/C13)

Для расчета ожидаемой доходности берем среднее значение за рассматриваемый период. В нашем случае это год. Ожидаемая доходность VISA = СРЗНАЧ(G3:G14)



Получаем отрицательную доходность AT&T, и убираем бумагу из портфеля. Сразу отмечу, что в этом заключается недостаток модели, ведь просевшие ранее акции в перспективе могут развернуться.

Этап 3. Расчет риска каждой акции. Производится по формуле стандартного отклонения. К примеру, риск VISA =СТАНДОТКЛОН(G3:G14)



Этап 4. Расчет ковариаций между бумагами. Воспользуемся специальной надстройкой в Excel. Для этого выберем в Главном меню ? «Данные» ? «Анализ данных» ? «Ковариация».



Указываем окне входной интервал - ежемесячные доходности акций, а в опции «Группирование» выбираем «по столбцам».



В результате получаем ковариационную матрицу.



Этап 5. Расчет общей доходности портфеля. Для начала установим произвольные доли бумаг в портфеле. Они положительны, их сумма равна 1.

Считаем средневзвешенное значение доходностей отдельных акций. Воспользуемся формулой G15*G23+H15*H23+I15*I23

Этап 6. Расчет общего риска портфеля. Производится по формуле массива КОРЕНЬ(МУМНОЖ(МУМНОЖ(G23:I23;G20:I22); E20:E22))



Этап 7. Портфель минимального риска.

Речь идет о долях отдельных бумаг в портфеле. Для начала необходимо определить минимальный уровень допустимой доходности портфеля (rp). Возьмем rp >= 3,2%.

При оценке долей акций воспользуемся надстройкой в Excel «Поиск решений», для этого выбираем Главное меню ? «Данные» ? «Поиск решений».

В надстройке «Поиск решений» необходимо ввести ссылку на ячейку, которую следует оптимизировать (общий риск портфеля, минимизируем), ввести какие параметры необходимо изменять (доли акций) и ограничения. Введем ограничения на весовые значения коэффициентов у акций: сумма долей акций должна быть равна 1 и сами доли должны иметь положительный знак.



В результате имеем портфель с 73% долей VISA и 27% долей Macy’s.



Визуально портфель выглядит так:



Этап 8. Портфель максимальной доходности.

Для начала необходимо определить максимальный уровень допустимого риска портфеля (?p). Возьмем ?p <= 4%.

В надстройке «Поиск решений» меняем оптимизируемую ячейку на доходность портфеля, ее максимизируем. Меняем ограничение – теперь ограничиваем риск.



В результате имеем портфель с 15% долей VISA и 85% долей Macy’s.



Визуально портфель выглядит так:



Сильные стороны модели Марковица

• Систематизация подхода к формированию портфеля.

• Относительная простота модели. Расчеты может провести любой инвестор в общедоступной программе Excel.

Слабые стороны модели Марковица

• Основная предпосылка модели – эффективные рынки капитала, где действуют рациональные агенты, а значит, не может быть продолжительных иррациональных движений.

• Будущая доходность основывается только на историческом значении доходностей бумаг и не включает влияние макро- и микро- и поведенческих факторов. В реальном мире если акция долго падала, то ожидаемая доходность скорее будет положительной.

• Риск финансового инструмента оценивается с помощью среднеквадратичного отклонения. Однако позитивное изменение доходности выше среднего по факту не является риском.
Источник http://bcs-express.ru/
При копировании ссылка http://elitetrader.ru/index.php?newsid=401716 обязательна
Условия использования материалов



Премиальный Форекс теперь доступен каждому!
Без ограничения на минимальный депозит;
Узкие спреды от 0.5 пунктов;
Гибкое плечо до 1:1000;
Огромное количество торговых инструментов;
Безупречное исполнение ордеров;
Передовая платформа

Начни торговлю и скажи всем, что у тебя теперь тоже есть криптовалюты! Почему нужно торговать в NORDFX?
Торговля ведется на платформе МТ4. Разрешена торговля любыми советниками и роботами;
В зависимости от типа счета пополнить можно долларами, эфириумом и биткойнами;
Торговля 24/7/365 без выходных и праздников