Облигации: мифы и реальность

12 мая 2021 smart-lab.ru
Невостребованная доходность

Облигации - простое и удобное средство для вложения своих сбережений. Если инвестора не устраивают ставки по банковским вкладам, он ищет аналогичные инструменты на фондовом рынке, и это, конечно, надежные облигации высокорейтинговых эмитентов: ОФЗ, субфедеральные, и другие бумаги, входящие в ломбардный список ЦБ. Инвестор перед покупкой обычно рассматривает такие параметры облигации как дата погашения, величина купона, цена и доходность. И если первые три, как правило, не вызывают вопросов, то последний параметр – доходность – имеет массу интерпретаций, что зачастую приводит к путанице и, как следствие, не всегда корректному сравнению различных облигаций. Всё дело в том, что и цены, и купоны непосредственно наблюдаются на рынке, а доходность – величина расчётная, т.е. выводимая из остальных параметров. Видов доходностей существует много: купонная, текущая, простая, эффективная к погашению, номинальная, к оферте и т.д. и т.п. Какую из них использовать каждый решает для себя, однако в финансовой литературе чаще всего используется так называемая YTM – доходность к погашению. Здесь и далее будем предполагать, что мы живем в мире плоских процентных ставок, т.е. кривые бескупонной доходности – просто константы. Также будем рассматривать только не содержащие опционов облигации с фиксированным купоном.

Для n-летней облигации с ежегодным купоном C и номиналом H YTM приравнивает ее цену P к дисконтированному потоку будущих платежей:

Облигации: мифы и реальность


К этой формуле так привыкли, что незаметно для всех она превратилась в формулу «нахождения цены облигации при известной требуемой доходности» Доходность в глазах финансовых менеджеров стала первичным фактором, а цена – производным. Иногда это приводит к недоразумениям. В реальности большинство облигаций на рынке выплачивают купоны не ежегодно, а чаще – раз в полгода, квартал, бывает даже ежемесячно. И сама формула может быть использована для любого числа выплат в год. В большинстве книг по инструментам с фиксированной доходностью ее видоизменяют так, что и выплаты, и доходность рассчитываются на один купонный период:



Это общепринятый подход. Именно так, например, считает цену купонной облигации хорошо известная функция Excel ПС(ставка; кпер; плт; [бс]; [тип]). Этот метод хорош тем, что дисконтирует как купоны, так и номинал по одному и тому же правилу, а также позволяет элегантно перейти к непрерывному начислению процентов (устремив m к ∞), используемому в литературе по финансовой инженерии.

Однако, в широко известных онлайн-курсах от Высшей Школы Экономики проф. Н.Берзона (и в учебниках ВШЭ по финансам под его редакцией) можно встретить другую формулу для «вычисления цены купонной облигации с выплатой купонов несколько раз в год»:



Здесь промежуточные выплаты дисконтируются согласно числу купонных периодов, но сам номинал – на годовой основе. Авторы объясняют это просто – облигация, которая платит купоны чаще одного раза в год, должна стоить дороже, чем аналогичная, но выплачивающая общую сумму купонов целиком, в конце года. И это чистая правда, ведь мы можем реинвестировать купоны и реализовать больший накопленный доход к концу срока погашения. Формула Берзона данному требованию отвечает. Кроме того, мы с удивлением обнаружим, что цена облигации, рассчитанная с помощью формулы (2), если подставить в нее то же значение r, что и в (1), будет не больше, а меньше (!), т.е. облигация с более частыми выплатами купонов парадоксально стоит дешевле. Так в чем тут подвох и почему формула Берзона, несмотря на всю ее привлекательность, все же неточна? Все дело в «доходностях к погашению» используемых в (1) и (2) Они на самом деле различны.

Рассмотрим такой пример:

Цена трёхлетней облигации номиналом 1000 руб. и ежегодным купоном 6% продается по номиналу. Сколько должна стоить такая облигация, если выплата купона будет происходить с периодичностью два раза в год, т.е. исходя из ставки 3% каждые полгода?

Заметим, что первая облигация торгуется с доходностью к погашению, которая равна купонной доходности, т.е. y1=6% при годовом начислении процентов. Для определения требуемой доходности по второй облигации мы должны исходить из принципа отсутствия арбитражных возможностей или Закона Единой цены.Обе облигации должны давать одинаковый фактический накопленный доход при погашении.

Тогда легко показать, что требуемая доходность для купонного периода y0.5 по второй облигации должна удовлетворять соотношению:



Получим, что y0.5=2.96%, что не равно «ожидаемым» 3%. Именно y0.5 следует подставить вместо r/m в формулу (2) чтобы убедиться, что такая облигация будет стоить дороже номинала, а именно 1002.37 р. Таким образом, для облигации с лучшими характеристиками инвесторы просто потребуют более низкую доходность, r=5.92% (мы должны привести YTM к годовым величинам умножая на 2, чтобы получить требуемую доходность при полугодовом начислении процентов) Между тем, цена такой облигации, найденная по формуле Берзона, будет меньше только что рассчитанной, что создает предпосылки для арбитража и получения неудовлетворительной оценки на экзамене CFA. С другой стороны, разница для низких процентных ставок и коротких горизонтов инвестирования совсем мала, так что формулу Берзона можно смело использовать для приближенных вычислений.

Однако сам по себе способ, используемый в формуле (2) не очень удобен. Для разных облигаций нужно вычислять свои доходности с m-периодным начислением, а это плодит сущности без острой необходимости. Неужели нет универсального подхода к оценке YTM? Он есть, и его можно найти у Дамодарана:



где – ti фракции года, отвечающие времени получения купонов, т.е., например, для облигации с полугодовыми купонами t1 =0.5 , t2 =1 .. tn =n. Всего получается m*n слагаемых.

При этом ставка дисконтирования рассчитывается на годовой основе, единый подход к дисконтированию денежных потоков как для купонов, так и для номинала сохраняется, полученная по формуле (4) цена совпадает с величиной, рассчитанной по формуле (2) при правильной подстановке в (2) доходности к погашению с m-периодным начислением. То есть, если использовать наш пример с 6% купонной облигацией, мы, подставляя в (4) те же 6% получим справедливую цену для облигации с полугодовыми купонами.

Таким образом подходы (2) и (4) в целом эквивалентны и в этом нет ничего необычного, ведь все знакомы с различием между номинальными и эффективными ставками, когда имеют дело с получением банковского кредита. Более того, универсальность формулы (4) еще и в том, что с ее помощью можно дисконтировать и амортизируемые облигации, также она легко модифицируется для расчета цены облигации в межкупонный период.

На сайте «Мосбиржи» https://www.moex.com/ru/bondization/calc для вычисления «эффективной доходности» используется именно формула (4) А вот под «номинальной доходностью» там понимают правильно найденную доходность из формулы (2) Она будет всегда меньше либо равна эффективной.

А какая доходность используется в Quik, когда мы смотрим биржевой стакан? Конечно же, эффективная (4). Можно ли сравнивать облигации, используя эту доходность? Да, с определенными оговорками, можно. В исследуемом нами мире с плоскими и неизменными процентными ставками и невозможностью дефолта эмитента эффективная доходность – единственный критерий для принятия решения о покупке облигации. На рынке, конечно, трудно найти две облигации, отличающиеся только частотой купонных выплат. Но если инвестор их обнаружит, он не должен удивляться тому, что одна стоит дороже другой при одинаковой эффективной доходности в Quik. Причину этого мы и разъяснили выше.

Иногда на форумах бондовиков можно прочесть следующие мнения:

1) Эффективная доходность не учитывает реинвестирование купонов. Это неправда, учитывает. Она ведь устроена таким образом, что предполагает реинвестирование купонов под эту же ставку.

2) Я должен обязательно реинвестировать купон, чтобы получить всю-всю доходность. Здесь тонкость: не реинвестируемый, но потребляемый инвестором купон с точки зрения полезности равен реинвестированному. Я могу проесть его сейчас, а могу реинвестировать и дождаться, когда инфляция его обесценит. Это обычная проблема интертемпорального выбора.

3) Эффективная доходность – это общая доходность, которую я получу, если буду удерживать облигацию до погашения и реинвестировать купоны. Это не так для мира изменяющихся во времени процентных ставок. В момент погашения облигации фактический накопленный доход может быть как выше, так и ниже рассчитанного при помощи YTM. Подробнее этот вопрос будет рассмотрен в последующих статьях.

Дюрация Маколея

“Дюрация — это эффективный срок до погашения облигации”

“С помощью дюрации инвесторы и аналитики измеряют средний срок возврата инвестиций”

“Простыми словами — это количество лет или дней, через которые инвестор вернет вложенные в облигацию деньги”

“Дюрация — это средняя окупаемость инвестиции”

При этом читателю вряд ли будет понятно, что в данном случае означают слова “эффективный” и “средний срок возврата”, а авторы таких статей в детали обычно не вдаются. Мы на примерах покажем, что эти дефиниции иногда могут сбить инвестора с толку, а в некоторых случаях бывают неверны. Мы продолжаем считать, что наши облигации живут в мире плоских процентных ставок, но иногда в нем могут происходить скачкообразные изменения кривой бескупонной доходности.


Дюрация Маколея

В вышеприведенных определениях под дюрацией авторы понимают прежде всего дюрацию Маколея, и она действительно была введена исторически как средневзвешенное время денежных потоков от облигации. (F.Macaulay, 1938) Он, собственно, и рассматривал дюрацию как некую оценку “срока жизни” облигации.

Выражение для дюрации Маколея хорошо известно и мы не будем его приводить, а обсудим лишь некоторые конкретные примеры.

Прежде всего обратим внимание, что единица измерения дюрации — временной интервал (годы, дни и т.д) И наилучшим образом понятию “количество лет или дней, через которые инвестор вернет вложенные в облигацию деньги” отвечает дюрация бескупонной облигации, ведь она в точности равна времени до погашения T (в чем легко убедиться, посмотрев на формулу) Конечно же, деньги вернутся с лихвой, обеспечив держателю процент от вложений, но промежуточных выплат по такой облигации нет, и придется дожидаться погашения номинальной стоимости.

Если облигация платит купоны, то ее дюрация всегда меньше времени до погашения, а чем выше размер купона и/или ставка дисконтирования, тем меньше дюрация. Поэтому возникает восприятие дюрации как “эффективного срока до погашения”, ведь какую-то “часть” инвестор получает заранее, и чем раньше, тем для него лучше. Проблема в том, что данная эффективность в сознании инвестора не имеет четких критериев, она никак и никем количественно не определена. Это скорее качественный показатель, позволяющий судить о том, что одни облигации могут быть лучше других в смысле величины и частоты поступления денежных потоков.

Быть может, формулировка “средний срок окупаемости” подойдет нам больше? В определении срока окупаемости, принятом в корпоративных финансах, временная стоимость денег не учитывается. В этом случае можно показать, что если купонная доходность достаточно велика и близка к ставке дисконтирования, то сумма купонов, полученная за время равное дюрации будет сопоставима с ценой облигации.

Но еще более интересным примером является так называемая “вечная облигация” (или консоль), которая платит только купоны и не имеет номинальной погашаемой стоимости. Выражение дюрации Маколея для консоли, выплачивающей ежегодный купон С, легко вывести, используя стандартные методы анализа: D=(1+r)/r, где r — требуемая доходность при годовом начислении процентов. Цена такой облигации будет равна C/r. Теперь, если перейти к непрерывному начислению процентов (что не так грубо исказит картину, ведь консоли могут выплачивать купоны и ежемесячно), то D=1/y, где у — доходность при непрерывном начислении. И мы получим красивое соотношение: P=D·C, из которого ясно видно, что “вечная облигация” окупается ровно за D лет.

Если рассмотреть другой крайний пример для обычной купонной облигации, — предельно низкие (нулевые) ставки дисконтирования, то в этом случае ее цена равна сумме всех денежных потоков, а значит срок окупаемости должен быть равен времени до погашения. Можно показать, что в этом примере дюрация как правило не превосходит половину срока окупаемости. Не зря в некоторых источниках дюрацию иногда называют «временем полураспада» облигации. Так что, если понимать среднее именно как половину срока окупаемости, то это определение может нам и подойти.

Однако рассмотренный выше подход нас не вполне устраивает, ведь временная стоимость денег для нас имеет значение и полученные купоны мы обязательно реинвестируем. Для того, чтобы получить правильное соотношение для срока окупаемости, с ценой облигации нужно сравнивать не сумму купонов D·C, полученных за время, равное дюрации, а будущую стоимость аннуитета FV[C], рассчитанную для этих купонов. Поэтому, введем так называемый приведенный срок окупаемости PaybackRatio = FV[C]/P, который легко интерпретировать: если он равен или больше единицы, нам удалось отбить вложения в течение t=D, если нет, то увы.

В качестве примера на рис 1. приведены графики приведенных сроков окупаемости 10-летней облигации как функции ставки дисконтирования для различных значений купонной доходности (от 2.5% до 15%).



Видно, что зависимость довольно сложная и дюрация Маколея в нашем случае может выступать в качестве меры «окупаемости» только при достаточно высоких ставках дисконтирования, а в текущих рыночных условиях низких ставок эта мечта вряд ли достижима.

Подводя итог, можно сказать, что дюрация Маколея как «эффективный срок погашения» или «срок окупаемости» безупречно интерпретируется в двух случаях: 1) бескупонная облигация, 2) консоль. Для распространения этого подхода на привычную нам купонную облигацию желательны как высокие ставки дисконтирования, так и большой купонный доход.

И напоследок стоит уточнить, что понятие срока окупаемости, которое обычно применяется к инвестиционным проектам, теряет смысл в условиях торговли высоколиквидными облигациями на ОРЦБ, так как любую купленную облигацию можно продать по усмотрению инвестора в любой удобный момент и тем самым «окупить вложения».

Теперь немного усложним задачу и попросим тиньковскую домохозяйку с помощью известной нам формулы найти дюрацию Маколея, например, для флоатера ОФЗ-24020. И тут ее, скорее всего, постигнет неудача, ведь будущие купоны флоатера неизвестны и зависят от средних значений ставок Ruonia за купонный период, как это определено в спецификации бумаги. Их нельзя подставить в формулу для дюрации. Что делать, как быть?

Нам следует полностью изменить подход к дюрации и отказаться рассматривать ее исключительно с точки зрения средневзвешенного времени получения денежных потоков по облигации. Об этом поговорим в следующей главе.

Иммунный ответ

Мы с тиньковской домохозяйкой продолжаем наше совместное путешествие по фантазийному миру облигаций. Предположим, что перед ней встала задача определить накопленную стоимость своей облигации с годовыми купонами на некоторый момент в будущем, который она определяет как свой горизонт инвестирования. Необязательно ждать до времени погашения T, — если бумага длинная, но доходная, можно какое-то время и подержать. Планируемая накопленная стоимость TV (обзовем ее target value) может быть определена из таких соображений: мы должны заглянуть в будущее и рассчитать, какой будет цена облигации Pt через t P(0,1) =100/(1+r1)= 96.15, P(0,2) =100/(1+r2)2 = 90.70} Тогда он может легко зафиксировать годовую форвардную ставку 1f1 (т.е., ставку, действующую с первого года на второй) путем следующих операций. Банк продаст в короткую одну двухлетнюю бескупонную облигацию за 90.70 и на вырученные деньги купит P(0,2)/P(0,1) = 0.943 частей однолетней (опять же ради простоты допустим, что облигации можно приобретать “дробными” частями). Начальные затраты у банка будут нулевые, т.к. 0.943·96.15=90.70. Через год короткая облигация будет погашена, что принесет банку 90.70·(1+r1) = 94.33 наличных и эти деньги он может выдать клиенту на год в кредит.

Поскольку еще через год сам банк должен будет вернуть номинал (100) от проданной ранее двухлетней облигации, то изначально он должен назначить клиенту такую годовую форвардную ставку 1f1 , чтобы выполнялось условие отсутствия арбитража: 100= 94.33·(1+1f1 ), откуда легко вычислить 1f1 = 6%



Если вернуться к ценам облигаций, можно записать выражение для 1f1:

1 + 1f1 = P(0,1)/P(0,2). Это же условие можно записать, используя только ставки: (1+r2)2 = (1+1f1)(1+r1) Отсюда наглядно видно, что 1f1 является “ставкой безубыточности”, обеспечивающей равенство стратегий: 1) купить двухлетнюю облигацию, или 2) купить короткую облигацию, а через год реинвестировать еще на год.

Похожие рассуждения можно провести для любого периода в будущем и вывести простое соотношение для спотовых и форвардных ставок (в данном случае запись mfn означает, что ставка применяется для года m и действует n лет)



В самом общем случае форвардная ставка – это такая устанавливаемая сегодня процентная ставка, которая будет выплачена за пользование деньгами, занятыми на некоторый определенный срок в определенный момент в будущем.

Существует несколько форм записи для форвардной ставки. Иногда пишут fmn или f(m,n) и подразумевают, что ставка действует с года m по год n (а не n лет). Для годовых форвардных ставок могут использовать обозначение fm — это краткосрочная форвардная ставка, действующая с года m до года m+1. При непрерывном начислении процентов используют так называемую мгновенную форвардную ставку f(0, t). Она получается из обычной форвардной ставки F(0,t,T) - (ставки назначаемой в момент времени 0, начинающей действовать в момент t, до момента T) путем предельного перехода t→T. Мгновенная форвардная ставка начисляется на бесконечно малый отрезок времени в будущем.

Однолетние форвардные ставки образуют так называемую кривую краткосрочных форвардных ставок. Она приведена на рис 2 для примера из прошлой части.



Можно показать, что эти форвардные ставки fi ( i < n, f0 = r1 ) связаны со спотовой ставкой rn соотношением,



т.е. спотовая ставка — это среднее геометрическое соответствующих ей годовых форвардных ставок. Поэтому, при положительном наклоне спотовой кривой наша форвардная кривая всегда лежит выше, а ее форма определяется крутизной наклона спотовой кривой. При выходе кривой бескупонной доходности на плато такая форвардная кривая к ней фактически примыкает. Поскольку между спотовыми и форвардными ставками устанавливается взаимно однозначное соответствие, последние наравне со спотовыми могут использоваться для дисконтирования денежных потоков по облигации. Помимо этого форвардные ставки нужны для оценки контрактов FRA и процентных свопов.

Поскольку спотовая кривая порождает целое семейство форвардных кривых (не только для краткосрочных ставок), с их помощью можно построить “ожидаемую” (т.е. подразумеваемую текущей временной структурой) динамику спотовых кривых во времени. Например, подразумеваемая спотовая кривая через год — это форвардные ставки с 1-го года на второй, с 1-го на третий, и т.д. Мы как бы движемся вперед во времени и наблюдаем всё уменьшающийся кусочек видоизменяющейся спотовой кривой “из будущего”. 10 летний форвард на рис. 3 — ожидаемый через 10 лет вид спотовой кривой для следующих 11 лет. А 15-летнему форварду соответствует подразумеваемая через 15 лет спотовая кривая, состоящая всего из 6 точек. Таким образом, предполагается, что инвестор через 15 лет будет наблюдать убывающую кривую бескупонной доходности (по крайней мере на протяжении первых шести лет)



Поэтому зачастую пишут, что форвардные ставки отражают мнение рынка о будущих процентных ставках (более подробно это будет рассмотрено при обсуждении теории ожиданий) Однако для непрофессионального участника рынка практическая польза от них следующая: они помогают принять решение, например, в выборе между стратегиями 1) покупка и удержание двухлетней облигации и 2) последовательная “перекладка” из одной короткой облигации в другую. Если инвестор уверен, что в следующем году краткосрочные ставки вырастут сильнее, чем подразумеваемая форвардная ставка, для него имеет смысл находиться в коротких облигациях (при горизонте инвестирования два года)

В следующей части этой же главы мы непосредственно перейдём к обсуждению гипотез, объясняющих временную структуру и поймём, почему кривые доходности не выглядят так, как их нам рисует Василий Олейник.
Источник: /
https://smart-lab.ru/my/imagic/
06:55 Индекс Мосбиржи по итогам недели +0,9%
06:53 Факторные инвестиции в период инфляции
06:50 Из Wildberries выманили за несуществующий товар настоящие 385 миллионов
06:46 Чего ждать от биткоина в выходные?
06:45 Что нам говорит Китай про будущее ставок в США, а также про выбор активов на ближайшее время?
20:26 Нефть торгуется с повышением
20:25 Индекс МосБиржи четвертую неделю подряд завершил ростом
20:23 Нижнекамскнефтехим: дивиденды в объединительный перииод с Сибуром и после
20:20 Backblaze анонсировал услугу облачного майнинга Chia. Эксперты усомнились в ее выгоде
20:19 История инфляции в США
20:17 Золото демонстрирует негативную динамику
20:17 Ценные бумаги. Взгляд в прошлое. Сибирский торговый банк
20:16 Биткойн: как настроения подсказали изменение тренда
Еще материалы
Данный материал не имеет статуса персональной инвестиционной рекомендации При копировании ссылка http://elitetrader.ru/index.php?newsid=557520 обязательна Условия использования материалов