Представьте, что Илон Маск решил раздать $150 млрд. Он отправляет случайной семье в США $10 млн. и делает так 15 000 раз (семьи могут повторяться).
Если в США 130 млн. семей, какова вероятность того, что по крайней мере 1 семья получит несколько платежей (два и более)?
======
На всякий случай: 1) Илон не проверяет, получила ли случайно выбранная семья хотя бы один платеж или нет, а выбор осуществляется всегда из полного списка всех семей; 2) да, состояние Илона сосредоточено в основном в акциях, но давайте сделаем допущение, что он может его раздать.
Правильный ответ на задачку в предыдущем посте: ~ 57,91%.
К сожалению, этот вариант получил наименьшее количество голосов. Только ~4% респондентов проголосовали за него. Остальные ~96% ошиблись.
Даже если вы не дружите с математикой, не пропустите полезные выводы в конце поста!
👉 Решение:
🔸 Эту загадку гораздо проще решить, поставив вопрос наоборот. То есть вместо того, чтобы спрашивать, какова вероятность того, что хотя бы одна семья получит несколько платежей, мы спрашиваем об обратном: какова вероятность того, что ни одна семья не получит несколько платежей (то есть 15 000 платежей уйдут только разным семьям)?
Число исходов, в которых это может произойти можно представить как:
(Число сочетаний выбора 15тыс семей из 130млн)*15000!
15000! – это факториал 15 000 = 1*2*3*4*5 … *15000, который означает число вариантов распределения 15 тыс. платежей среди этих 15 тыс. семей (в комбинаторике это называют Перемещениями).
🔸 Также, общее число вариантов, с помощью которых Илон сможет отправить платежи = (130млн)^15тыс
, то есть платеж 1 может быть отправлен любой из 130 млн. семей, платеж 2 может быть отправлен любой из 130 млн. семей и т.д.
👆 Таким образом, вероятность (P) возникновения нашей ситуации:
P = ((Число сочетаний выбора 15тыс семей из 130млн)*15000!) / (130млн)^15тыс
🔸 В комбинаторике Сочетанием из n по k называется набор из k элементов, выбранных из n-элементного множества, в котором не учитывается порядок элементов. Число сочетаний без повторений определяется по формуле:
(Число сочетаний выбора k=15тыс семей из n=130млн) = n!/(k!*(n-k)!) = 130млн/(15тыс!(130млн-15тыс)!)
Поэтому далее: P = (130млн!/(15тыс!(130млн-15тыс)!)) * (15тыс!/(130млн)^15тыс)
После сокращений: = 130млн! / ((130млн-15тыс)!*130млн^15тыс)
🔸 Раскладывая факториалы и степень получаем: = (130млн/130млн)*((130млн-1)/130млн)*((130млн-2)/130млн)* … *((130млн-15млн+1)/130млн)
Первое отношение сокращается и мы получаем следующее произведение:
👆 P = prod(1-i/130млн), где i = 1 до 14999, = 42.09%
Вы можете легко рассчитать это произведение, используя Python, R или даже Excel.
🔸 В конце концов, это означает, что вероятность события, при котором, по крайней мере одна семья получит несколько платежей будет:
= 1-0.4209 = 57.91%
и поэтому верен ответ >50%, <=75%.
👉 Полезные выводы
🔹 1. Вероятность того, что произойдет КОНКРЕТНОЕ совпадение чего-либо (например, того, что конкретная семья получит платеж от Илона) может быть очень мала. Но вероятность того, что произойдет НЕКОТОРОЕ совпадение может быть высокой. Используя другой пример: вероятность того, что именно вы выиграете в лотерею может быть 1 к миллиону, но кто-то выиграет в лотерею и вероятность этого равна 100%. В совокупности несколько редких событий почти неизбежно происходят.
🔹 2. Ответы на эту задачку хорошо показывают, как вероятность бросает вызов вашей интуиции.Если бы вам дали 1 цент и вы бы могли удваивать вложения от него каждый день в течение месяца, то к концу этого периода ваше состояние оценивалось бы в … почти $11 млн. Наш мозг очень плохо воспринимает экспоненциальную функцию и вероятности.
Неспособность точно рассчитать шансы и оценить риск может привести к всевозможным неприятностям, когда дело доходит до финансового планирования. Например, мы часто сталкивается с оценками людей, которые интуитивно прикидывают сколько денег им понадобится через много лет для определения суммы сбережений, и обычно, они очень далеки от правильной суммы. Очень многие сосредотачиваются на страховании жизни, игнорируя суммы выплат по инвалидности, но у вас гораздо больше шансов стать инвалидом в течение трудовых лет, чем умереть.
👆 Что вы можете сделать, чтобы компенсировать этот недостаток человеческого мозга? Не полагайтесь на интуицию.
Когда дело доходит до оценки вероятности будущего события или прогнозирования того, сколько денег вам понадобится в будущем, велика вероятность, что вы не сможете сделать это правильно, пытаясь просто угадать. Всегда копайтесь в реальных цифрах, тренируйтесь на таких задачках или обратитесь к профессионалу.
А еще погуглите "Парадокс дня рождения".
