У нас есть 2 актива: «А» и «B». Оба сегодня стоят 100 руб. «А» растет на 5% каждый год. «B» либо растет на 20%, либо падает на 10% каждый год — с вероятностью 50/50.
Таким образом, за любой год «В» «в среднем» растёт на (20 - 10)/2 = 5%, как и «А».
Какова вероятность того, что через 10 лет цена «B» будет выше, чем «A»?
====
Вероятности из года с год независимы.
👉 Решение
Оба актива сегодня стоят 100 руб. Актив «A» растет каждый год на 5%. Актив «B» либо растет на 20%, либо падает на 10% с вероятностью 50/50 и эта вероятность независима от года к году.
Можно заметить, что «средняя» доходность для обоих активов в каждый год одинакова и составляет 5% в год (для актива «B» (20-10)/2 = 5%).
Цену актива «A» через 10 лет рассчитать легко: 100 руб. * (1+0.05)^10.
Цена актива «B» через 10 лет является случайной величиной.
Предположим, что X = числу лет в течение этих 10 лет, в которые цена актива «B» росла на 20%. Тогда 10-X = числу лет в течение этих 10 лет, в которые цена актива «B» снижалась на 10%. Тогда мы можем сказать следующее:
1) Цена актива «B» через 10 лет в этом случае = 100 руб. * 1.2^X * 0.9^(10-X).
2) При этом X может быть равен k = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 или 10, то есть сколько раз за 10 лет рост цены составит 20%. Вероятность каждого из этих событий равна:
P (X=k) = Число комбинаций k за 10 лет * (1 / 2^10)
▪ Здесь (1 / 2^10) – это вероятность появления каждого индивидуального исхода (2^10 = число всех возможных вариантов).
▪ Число комбинаций k за 10 лет = число различных последовательностей появления этих k раз доходностей в 20% за 10 лет) = формула из комбинаторики = n! / (k!*(n-k)!), где n – общее число элементов, то есть в нашем случае n = 10.
Цена актива «B» может превысить цену «A» только если:
100 руб. * 1.2^X * 0.9^(10-X) > 100 руб. * 1.05^10.
Упрощаем:
1.2^X * 0.9^(10-X) > 1.05^10
1.2^X / 0.9^X > 1.05^10 / 0.9^10
(1.2^/0.9)^X > (1.05/0.9)^10
X*ln(1.2/0.9) > 10*ln(1.05/0.9)
Тогда:
X > 10*ln(1.05/0.9) / ln(1.2/0.9) =~ 5.36
Это означает, что активу «B» нужно расти на 20% не менее 6 раз из наших 10 лет и тогда его цена превысит «A».
Тогда нам нужно просто рассчитать вероятность появления высокой доходности 6 и более раз (то есть для k = 6, 7, 8, 9 и 10). Применив формулы из пункта 2 выше, мы получим:
👉 P = (210 + 120 + 45 + 10 + 1) * (1/2^10) = 386 / 1024 =~ 37.7%
Поэтому верен ответ «>=25%, <40%».
Как правильно написали в комментариях «37.7 процента вероятность обогнать жалкую 5-процентную доходность». Снижение волатильности часто крайне важно для наших инвестиций. Мы продолжим эту тему в следующих задачках, переходя ближе к практике.
