Задача на тему продажи ценных бумаг наиболее выгодным способом при имеющихся условиях была впервые предложена на ЕГЭ по математике профильного уровня 2017 года. Разберём две задачи, связанные с пенсионным фондом и ценными бумагами.
Задачи для разбора взяты из реальных вариантов ЕГЭ прошлых лет, которые размещены на популярном среди школьников и учителей сайте РЕШУ ЕГЭ.
Задача 1. Рассчитать процент r, при котором ценные бумаги можно будет продать в конце определённого года для получения наибольшей прибыли.
Пенсионный фонд владеет ценными бумагами, которые стоят t2 тыс. руб. в конце года t (t = l, 2, ...). В конце любого года пенсионный фонд может продать ценные бумаги и положить деньги на счёт в банке, при этом в конце каждого следующего года сумма на счёте будет увеличиваться в 1 + r раз. Пенсионный фонд хочет продать ценные бумаги в конце такого года, чтобы в конце 25-го года сумма на его счёте была наибольшей. Расчёты показали, что для этого ценные бумаги нужно продавать строго в конце 21-го года. При каких положительных значениях r это возможно?
Решение
I способ. В конце года стоимость ценных бумаг растёт по заданному правилу. Будем считать, что одно и то же количество бумаг стоит в конце 1-го, 2-го, ..., 25-го годов соответственно (тыс. руб.):
12, 22, ..., 202, 212, 222, 232, 242, 252
Рассчитаем доход при продаже ценных бумаг в конце любого года, кроме последнего, и размещении этих денежных средств в банке под r процентов годовых. Размещённая сумма до 25-го года будет увеличиваться в 1 + r раз ежегодно и составит соответственно:
1-й год: 12 * (1 + r)24
2-й год: 22 * (1 + r)23
…
20-й год: 202 * (1 + r)5
21-й год: 212 * (1 + r)4
22-й год: 222 * (1 + r)3
23-й год: 232 * (1 + r)2
24-й год: 242 * (1 + r)
По условию задачи сумма в конце 25-го года будет наибольшей, если продажа состоялась в 21-м году, то есть наибольшая сумма равна 212 * (1 + r)4. Сравним эту сумму с соседними членами последовательности, получим два неравенства:
Внимание! Из того, что доход при продаже бумаг в конце 21-го года больше, чем доход при их продаже в конце 20-го и 22-го годов, не следует, что этот доход больше, чем при продаже в любой другой год, а именно это оговорено в условии. Поэтому решение следует дополнить.
Определим, во сколько раз увеличивается стоимость ценных бумаг по сравнению с их стоимостью в предыдущий год, если фонд не продаёт ценные бумаги, а хранит их:
Полученное отношение убывает с ростом k, поэтому если фонд хранит ценные бумаги, не продавая их, с течением лет прирост дохода падает, приближаясь к единице. В силу этого, если момент продажи наступил в конце 21-го года, то он не мог наступить ни раньше, ни позже.
II способ. В случае продажи пенсионным фондом ценных бумаг в конце года k в конце 25-го года на его счёте будет:
По условию задачи продавать бумаги следует в конце 21-го года. Следовательно, доход, полученный при продаже бумаг в конце 21-го года, больше, чем при их продаже в конце 20-го и 22-го года.
Согласно монотонности функции, S(k): S(21) > S(20) и S(21) < S(22), что гарантирует выполнение условия S(21) > S(k) для всех k, отличных от 21.
Необходимо и достаточно решить систему неравенств:
Задача 2. Рассчитать, в конце какого года надо продать акции, чтобы прибыль была максимальной
Пенсионный фонд владеет акциями, цена которых к концу года t становится равной t2 тыс. руб. (то есть к концу первого года они стоят 1 тыс. руб., к концу второго — 4 тыс. руб. и так далее), в течение 20 лет. В конце любого года можно продать акции по их рыночной цене на конец года и положить вырученные деньги в банк под 25% годовых. В конце какого года нужно продать акции, чтобы прибыль была максимальной?
Решение
I способ. Пусть акции проданы в конце года t-го за t2 тыс. руб. Вырученная при этом сумма положена в банк на оставшиеся (20 − t) лет под 25% годовых.
Точка максимума лежит в интервале (8; 10).
https://journal.open-broker.ru/
Не является индивидуальной инвестиционной рекомендацией | При копировании ссылка обязательна | Нашли ошибку - выделить и нажать Ctrl+Enter | Жалоба