4 апреля 2017 long-short.ru
Как отмечалось рядом исследователей обычно рассчитанная дельта не сводит к минимуму дисперсию (мера разброса случайной величины, то есть её отклонения от математического ожидания) изменений в стоимости позиции трейдера. Это связано с ненулевой корреляцией между изменениями цены базового актива и изменениями волатильности актива. Дельта минимальной дисперсии учитывает как изменения цен, так и ожидаемое изменение волатильности, обусловленное изменениями цены. Настоящая работа эмпирически определяет модель минимальной дельта-дисперсии. Мы тестируем модель, используя данные по опционам на S&P500, и показываем, что это улучшение по сравнению со стохастическими моделями волатильности, даже если последние колибруются каждый день для каждого срока погашения. Мы также представляем результаты по опционам на S&P100, DowJones, отдельных акций, а также ETF с товарными и процентными ставками.
Введение
Учебный подход к уравлению риском в портфеле опционом включает в себя определение модели оценки и затем вычисление частных производных цен опционов по отношению к лежащим в их основе стохастическим переменным. Самые популярные модели оценки основаны на предположениях, сделанных Блэком-Шоулзом и Мертоном (1973). Когда параметры хеджирования (греки) рассчитываются из этих моделей обычная рыночная практика заключается в том, чтобы установить параметры волатильности равные подразумеваемой волатильности (implied vol.). Это иногда называют использование практикующей модели БШ. Например, практическое применение модели БШ при расчете дельты опциона является взятие частной производной от цены опциона по отношению к цене базового актива с другими переменными, включая подразумеваемую волатильность.
Дельта безусловно является самым важным параметром хеджирования и к счастью её легче всего отрегулировать, поскольку она требует только торговли базовым активом. С момента рождения биржевых рынков опционов в 1973 году дельта-хеджирование сыграло важную роль в управлении портфелями опционов. Опционные трейдеры часто корректируют дельту, делая её близкой к нулю, торгуя базовым активом.
Несмотря на то, что модель Блэка-Шоулза -Мертона предполагает постоянство волатильности участники рынка обычно рассчитывают вегу, основанную на IV для измерения и анализа воздействия волатильности. Вега является частной производной от цены опциона в отношении IV, при этом все остальные переменные, включая цену актива, остаются неизменными. Этот подход, хоть и не основанный на изначальной модели, имеет преимущество в виде простоты. Цена опциона в любой момент времени при качественной апроксимации является детерминированной функцией цены базового актива и подразумеваемой волатильности. Разложение в ряд Тейлора (разложение функции в бесконечную сумму степенных функций) показывает, что принимаемые риски можно оценить, отслеживая изменения этих двух параметров. Это условие выполнимо в случаях, если мы не учитываем неопределенность, связанную с процентными ставками и дивидендами. Ряд исследователей реализовали модели стохастической волатильности и использовали допущения моделей для преобразования обычной дельты в дельта MV (min var). Они обнаружили, что это приводит к улучшению показателей дельта-хеджирования, особенно для опционов «вне денег». Исследователи опираются на статью Бакши в 1997 году, которые реализовали три различные модели стохастической волатильности, используя данные по опционам колл на S&P500 в период с сентября 1993 года по август 1995 год, исследование Ногуэры и его коллег 2007 года, которые рассматривали эффективность хеджирования шестью различными моделями с использованием опционов пут и колл на торгах S&P500 в 2007 году и исследование команды Поулсона, которые рассмотрели данные по опционам на S&P500, опционам на индекс Eurostoxx, и опционам на курс доллара по отношению к евро за период с 2004 по 2008 год. Так, Бартлетт показывает, как хеджирование с минимальной дисперсией можно использоватьв сочетании с моделью стохастической волатильности SABR, предложенной Хейгеном в 2002 году.
Эта статья отличается от выше упомянутых исследований тем, что она не основана на моделях стохастической волатильности. По духу она схожа со статьями как Cr?pey (2004), V?h?maa (2004) и Alexander et al (2012). Эти авторы отмечают, что дельта минимальной дисперсии представляет собой дельту Блэка-Шоулза плюс используемую вегу по Блэку-Шоулзу, умноженную на частную производную ожидаемой подразумеваемой волатильности относительно цены актива. Поэтому для усиления дельты требуется предположение о частной производной ожидаемой подразумеваемой волатильности относительно цены актива. Cr?pey (2004) и V?h?maa (2004) установили, что частная производная равна или близка к отрицательному наклону улыбки волатильности, как это предполагает модель локальной волатильности. Alexander et al (2012) основываются на исследовании Derman (1999) и тестируют восемь различных моделей для частной производной, включая модели с переключениями режимов.
Эта статья расширяет предыдущие исследования, эмпирически определяя модель для частной производной функции ожидаемой подразумеваемой волатильности относительно цены актива. Мы показываем, что когда базовым активом является S&P500, эта частная производная представляет собой при хорошей апроксимации квадратичную функцию дельты Блэка-Шоулза, деленную на произведение цены актива и квадратичного корня от времени до экспирации. Это приводит к простой модели, в которой дельта MV рассчитывается от текущей дельты, веги Блэка-Шоулза, цены актива и времени до погащения. Мы показываем, что прибыль от хеджирования путем апроксимации дельты MV таким образом лучше, чем дельта, полученная на основе моделей стохастической волатильности. Результаты имеют практическое значение для трейдеров, многие из которых всё ещё основывают свое решение на модели Блэка-Шоулза. Прибыль, полученная от хеджирования по нашей модели была такая же устойчивая на других индексах, как и на S&P500. Этот подход также привел к получению определенного преимущества на опционах по ETF и акциях, но не столь явное.
Структура остальной статьи такова. Сначада мы обсудим данные, которые мы используем. Во-вторых мы разработаем теорию, которая позволит нам параметризировать эволюцию подразумеваемой волатильности опционов. Затем теория внедряется и проводится бэктестовый анализ на тестовой выборке на опционах на S&P500. Результаты сравниваются с результатами стохастической волатильности и моделями локальной волатильности. По результатам бэктеста мы проводим анализ по другим индексам и опционам на отдельные акции и ETF.
Данные.
Мы используем данные из OptionMetrics. Это удобный источник данных для нашего исследования. Он обеспечивает ежедневные цены базового актива, цену закрытия по биду и офферу для опционов и параметры хеджирования, основанные на актуальной модели БШ. Мы также решили рассмотреть опционы на S&P500, S&P100, DowJones Industrial Average (DJIA, включающий 30 акций), отдельные акции, лежащие в основе DJIA и пять ETF. Активы, лежащие в основе трех ETF – это товары: золото (GLD), серебро (SLV), нефть (USO). Активы, лежащие в основе двух других ETF были индексом облигаций Казначейства США ( индекс Barclays) 20+ (TLT) и 7+ (IEF). Мы рассматриваем европейские опционы на S&P500 и DJIA, хотя в наш набор исследований включены как американские, так и европейские опционы на S&P100. Опционы по отдельным акциям, а также по ETF – американские. Период, охватываемый данными, которые мы использовали — с 2 января 2004 года по 31 августа 2015 год, за исключением товарных ETF, когда данные были впервые доступны с 2008 года. Это гораздо более длительный период, чем те данные, которые испольуют другие исследователи. В процессе работы с данными были сохранены только котировки опционов, для которых были доступны bid, offer, IV, дельта, гамма, вега и тетта. Набор данных по опционам был отсортирован для создания наблюдений по одному и тому же опциону в течение двух последовательных торговых дней. Для каждой пары наблюдений данные были нормализованы, так что первоначальная цена на первый из двух дней была равна единице. Опционы с экспирацией менее чем 14 дней были убраны из набора данных. Опционы колл для которых дельта по БШ была меньше 0.05 или больше 0.95 были удалены, также как и опционы пут, дельта по БШ по которым была меньше -0.95 и больше 0.05. Для опционам по отдельным акциям в дополнение к выше обозначенным фильтрам, были удалены дни, когда произошли разрывы по акциям.
После всей фильтрации остается более 1.3 млн. цен как для коллов, так и путов на S&P500, около 0.5 млн. наблюдений для других индексов и ETF и около 200 тыс. наблюдений для опционов по каждой отдельной акции индекса DJIA. Объем торгов по путам S&P500 намного выше, чем по коллам. Это связано с тем, что бид-оффер спред для путов на S&P500 меньше, чем для коллов, зак исключением случаев с опционам глубоко «в деньгах», где спреды примерно одинаковы. Для других индексов путы и коллы торгуются примерно в равных объемах. Коллы торгуются более активно, чем путы для отдельных акций. Торговля имеет тенденцию концентрироваться вокруг опционов «около денег» и опционов «вне денег». Одной из примечательных особенностей является то, что торговля опционами «около денег» особенно популярна. Большинство опционов имеет сроки экспирации менее чем 91 день.
Основная теория.
Как изначально говорилось в модели БШ цена базового актива следует диффузионному процессу (винеровскому) с постоянной волатильностью. Многие альтернативы БШ были разработаны в попытке объяснить стоимость опционов, которые наблюдаются на практике. Они включают стохастическую волатильность, скачки цен на активы или волатильность, наприятие риска и так далее (а также mean reversion процессы. Смотрите например, модели Хестона, Бейтса, модель Орнштейна-Уленбека — прим. переводчика). Отступление от классической модели БШ, как правило, снижает эффективность хеджирования дельты. Например, исследование Sepp в 2012 году показывает, что это относится к mixed-jump diffusion model, а некоторые из ранее упомянутых документов показывают, что это справедливо для большинства стохастических моделей. В этом разделе мы приводим теоретический результат для определения дельты MV из дельты БШ. Результат использует подразумеваемую волатильность и правилен с минимальной ошибкой для диффузиозных процессах, будучи приближением в случае других моделей. (Автор не пытается построить свою IV, а предлагает работать с тем, что есть на рынке, считая вытащенную IV примерно усредненной оценкой всех различных практических моделей. - прим. переводчика).
Так, мы показываем в Приложении А, что приблизительно верно следующее утверждение
где fBS это функция ценообразования БШ, ?imp — подразумеваемая волатильность, vBS – это рассчитанная вега по БШ, и E(?imp) — ожидаемое значение подразумеваемой волатильности как функции от S. (То, что актуально для S&P500 может не годиться для нашего рынка, поэтому я приведу порядок расчета из Приложения А — прим. переводчика).
Другие авторы, в том числе и Alexander et al (2012) изучили эффективность различных оценок ?E(?imp)/?S при определении минимальной дельта-дисперсии (Что безусловно надо делать при анализе применимости модели к рынку — прим. переводчика). В дальнейшем мы оцениваем эту функцию эмпирически, а затем проводим проверку на тестовой выборке эффективности выбранной функции.
При представлении наших результатов, мы определяем эффективность хеджирования как процентное сокращение суммы квадратов ошибок (SSE), возникающих в процессе хеджирования. Мы обозначим GAIN как увеличение эффективности хеджирования MV над эффективностью хеджирования БШ. Таким образом:
где SSE обозначает сумму квадратов ошибок. Использование стандартного отклонения вместо SSE приведет к аналогической мере, но коэффициент GAIN будет численно меньше.
http://www.long-short.ru/ (C) Источник
Не является индивидуальной инвестиционной рекомендацией
При копировании ссылка обязательна Нашли ошибку: выделить и нажать Ctrl+Enter
Введение
Учебный подход к уравлению риском в портфеле опционом включает в себя определение модели оценки и затем вычисление частных производных цен опционов по отношению к лежащим в их основе стохастическим переменным. Самые популярные модели оценки основаны на предположениях, сделанных Блэком-Шоулзом и Мертоном (1973). Когда параметры хеджирования (греки) рассчитываются из этих моделей обычная рыночная практика заключается в том, чтобы установить параметры волатильности равные подразумеваемой волатильности (implied vol.). Это иногда называют использование практикующей модели БШ. Например, практическое применение модели БШ при расчете дельты опциона является взятие частной производной от цены опциона по отношению к цене базового актива с другими переменными, включая подразумеваемую волатильность.
Дельта безусловно является самым важным параметром хеджирования и к счастью её легче всего отрегулировать, поскольку она требует только торговли базовым активом. С момента рождения биржевых рынков опционов в 1973 году дельта-хеджирование сыграло важную роль в управлении портфелями опционов. Опционные трейдеры часто корректируют дельту, делая её близкой к нулю, торгуя базовым активом.
Несмотря на то, что модель Блэка-Шоулза -Мертона предполагает постоянство волатильности участники рынка обычно рассчитывают вегу, основанную на IV для измерения и анализа воздействия волатильности. Вега является частной производной от цены опциона в отношении IV, при этом все остальные переменные, включая цену актива, остаются неизменными. Этот подход, хоть и не основанный на изначальной модели, имеет преимущество в виде простоты. Цена опциона в любой момент времени при качественной апроксимации является детерминированной функцией цены базового актива и подразумеваемой волатильности. Разложение в ряд Тейлора (разложение функции в бесконечную сумму степенных функций) показывает, что принимаемые риски можно оценить, отслеживая изменения этих двух параметров. Это условие выполнимо в случаях, если мы не учитываем неопределенность, связанную с процентными ставками и дивидендами. Ряд исследователей реализовали модели стохастической волатильности и использовали допущения моделей для преобразования обычной дельты в дельта MV (min var). Они обнаружили, что это приводит к улучшению показателей дельта-хеджирования, особенно для опционов «вне денег». Исследователи опираются на статью Бакши в 1997 году, которые реализовали три различные модели стохастической волатильности, используя данные по опционам колл на S&P500 в период с сентября 1993 года по август 1995 год, исследование Ногуэры и его коллег 2007 года, которые рассматривали эффективность хеджирования шестью различными моделями с использованием опционов пут и колл на торгах S&P500 в 2007 году и исследование команды Поулсона, которые рассмотрели данные по опционам на S&P500, опционам на индекс Eurostoxx, и опционам на курс доллара по отношению к евро за период с 2004 по 2008 год. Так, Бартлетт показывает, как хеджирование с минимальной дисперсией можно использоватьв сочетании с моделью стохастической волатильности SABR, предложенной Хейгеном в 2002 году.
Эта статья отличается от выше упомянутых исследований тем, что она не основана на моделях стохастической волатильности. По духу она схожа со статьями как Cr?pey (2004), V?h?maa (2004) и Alexander et al (2012). Эти авторы отмечают, что дельта минимальной дисперсии представляет собой дельту Блэка-Шоулза плюс используемую вегу по Блэку-Шоулзу, умноженную на частную производную ожидаемой подразумеваемой волатильности относительно цены актива. Поэтому для усиления дельты требуется предположение о частной производной ожидаемой подразумеваемой волатильности относительно цены актива. Cr?pey (2004) и V?h?maa (2004) установили, что частная производная равна или близка к отрицательному наклону улыбки волатильности, как это предполагает модель локальной волатильности. Alexander et al (2012) основываются на исследовании Derman (1999) и тестируют восемь различных моделей для частной производной, включая модели с переключениями режимов.
Эта статья расширяет предыдущие исследования, эмпирически определяя модель для частной производной функции ожидаемой подразумеваемой волатильности относительно цены актива. Мы показываем, что когда базовым активом является S&P500, эта частная производная представляет собой при хорошей апроксимации квадратичную функцию дельты Блэка-Шоулза, деленную на произведение цены актива и квадратичного корня от времени до экспирации. Это приводит к простой модели, в которой дельта MV рассчитывается от текущей дельты, веги Блэка-Шоулза, цены актива и времени до погащения. Мы показываем, что прибыль от хеджирования путем апроксимации дельты MV таким образом лучше, чем дельта, полученная на основе моделей стохастической волатильности. Результаты имеют практическое значение для трейдеров, многие из которых всё ещё основывают свое решение на модели Блэка-Шоулза. Прибыль, полученная от хеджирования по нашей модели была такая же устойчивая на других индексах, как и на S&P500. Этот подход также привел к получению определенного преимущества на опционах по ETF и акциях, но не столь явное.
Структура остальной статьи такова. Сначада мы обсудим данные, которые мы используем. Во-вторых мы разработаем теорию, которая позволит нам параметризировать эволюцию подразумеваемой волатильности опционов. Затем теория внедряется и проводится бэктестовый анализ на тестовой выборке на опционах на S&P500. Результаты сравниваются с результатами стохастической волатильности и моделями локальной волатильности. По результатам бэктеста мы проводим анализ по другим индексам и опционам на отдельные акции и ETF.
Данные.
Мы используем данные из OptionMetrics. Это удобный источник данных для нашего исследования. Он обеспечивает ежедневные цены базового актива, цену закрытия по биду и офферу для опционов и параметры хеджирования, основанные на актуальной модели БШ. Мы также решили рассмотреть опционы на S&P500, S&P100, DowJones Industrial Average (DJIA, включающий 30 акций), отдельные акции, лежащие в основе DJIA и пять ETF. Активы, лежащие в основе трех ETF – это товары: золото (GLD), серебро (SLV), нефть (USO). Активы, лежащие в основе двух других ETF были индексом облигаций Казначейства США ( индекс Barclays) 20+ (TLT) и 7+ (IEF). Мы рассматриваем европейские опционы на S&P500 и DJIA, хотя в наш набор исследований включены как американские, так и европейские опционы на S&P100. Опционы по отдельным акциям, а также по ETF – американские. Период, охватываемый данными, которые мы использовали — с 2 января 2004 года по 31 августа 2015 год, за исключением товарных ETF, когда данные были впервые доступны с 2008 года. Это гораздо более длительный период, чем те данные, которые испольуют другие исследователи. В процессе работы с данными были сохранены только котировки опционов, для которых были доступны bid, offer, IV, дельта, гамма, вега и тетта. Набор данных по опционам был отсортирован для создания наблюдений по одному и тому же опциону в течение двух последовательных торговых дней. Для каждой пары наблюдений данные были нормализованы, так что первоначальная цена на первый из двух дней была равна единице. Опционы с экспирацией менее чем 14 дней были убраны из набора данных. Опционы колл для которых дельта по БШ была меньше 0.05 или больше 0.95 были удалены, также как и опционы пут, дельта по БШ по которым была меньше -0.95 и больше 0.05. Для опционам по отдельным акциям в дополнение к выше обозначенным фильтрам, были удалены дни, когда произошли разрывы по акциям.
После всей фильтрации остается более 1.3 млн. цен как для коллов, так и путов на S&P500, около 0.5 млн. наблюдений для других индексов и ETF и около 200 тыс. наблюдений для опционов по каждой отдельной акции индекса DJIA. Объем торгов по путам S&P500 намного выше, чем по коллам. Это связано с тем, что бид-оффер спред для путов на S&P500 меньше, чем для коллов, зак исключением случаев с опционам глубоко «в деньгах», где спреды примерно одинаковы. Для других индексов путы и коллы торгуются примерно в равных объемах. Коллы торгуются более активно, чем путы для отдельных акций. Торговля имеет тенденцию концентрироваться вокруг опционов «около денег» и опционов «вне денег». Одной из примечательных особенностей является то, что торговля опционами «около денег» особенно популярна. Большинство опционов имеет сроки экспирации менее чем 91 день.
Основная теория.
Как изначально говорилось в модели БШ цена базового актива следует диффузионному процессу (винеровскому) с постоянной волатильностью. Многие альтернативы БШ были разработаны в попытке объяснить стоимость опционов, которые наблюдаются на практике. Они включают стохастическую волатильность, скачки цен на активы или волатильность, наприятие риска и так далее (а также mean reversion процессы. Смотрите например, модели Хестона, Бейтса, модель Орнштейна-Уленбека — прим. переводчика). Отступление от классической модели БШ, как правило, снижает эффективность хеджирования дельты. Например, исследование Sepp в 2012 году показывает, что это относится к mixed-jump diffusion model, а некоторые из ранее упомянутых документов показывают, что это справедливо для большинства стохастических моделей. В этом разделе мы приводим теоретический результат для определения дельты MV из дельты БШ. Результат использует подразумеваемую волатильность и правилен с минимальной ошибкой для диффузиозных процессах, будучи приближением в случае других моделей. (Автор не пытается построить свою IV, а предлагает работать с тем, что есть на рынке, считая вытащенную IV примерно усредненной оценкой всех различных практических моделей. - прим. переводчика).
Так, мы показываем в Приложении А, что приблизительно верно следующее утверждение
где fBS это функция ценообразования БШ, ?imp — подразумеваемая волатильность, vBS – это рассчитанная вега по БШ, и E(?imp) — ожидаемое значение подразумеваемой волатильности как функции от S. (То, что актуально для S&P500 может не годиться для нашего рынка, поэтому я приведу порядок расчета из Приложения А — прим. переводчика).
Другие авторы, в том числе и Alexander et al (2012) изучили эффективность различных оценок ?E(?imp)/?S при определении минимальной дельта-дисперсии (Что безусловно надо делать при анализе применимости модели к рынку — прим. переводчика). В дальнейшем мы оцениваем эту функцию эмпирически, а затем проводим проверку на тестовой выборке эффективности выбранной функции.
При представлении наших результатов, мы определяем эффективность хеджирования как процентное сокращение суммы квадратов ошибок (SSE), возникающих в процессе хеджирования. Мы обозначим GAIN как увеличение эффективности хеджирования MV над эффективностью хеджирования БШ. Таким образом:
где SSE обозначает сумму квадратов ошибок. Использование стандартного отклонения вместо SSE приведет к аналогической мере, но коэффициент GAIN будет численно меньше.
http://www.long-short.ru/ (C) Источник
Не является индивидуальной инвестиционной рекомендацией
При копировании ссылка обязательна Нашли ошибку: выделить и нажать Ctrl+Enter