Управление рисками

РИСК - возможность убытка. То есть если мы имеем некоторые акции, и есть возможность падения цены, мы - в опасности. Акция - не риск, потеря - не риск. Возможность потери - риск. Пока мы имеем акции, мы - в опасности. Единственный способ управлять риском состоит в том, чтобы покупать или продавать акции. В вопросе держания акций и стремления к прибыли риск неизбежен и лучшее, что мы можем сделать, это управлять риском.

Управление риском

Управляющий должен указывать и контролировать. Управление рисками требует указания и контроля за возможностями потери. Действия риск-менеджера - измерить риск, а затем увеличивать и уменьшать его, покупая и продавая акции.

Пример с подбрасыванием монеты

Скажем, у нас есть монета для броска, которая падает орлом или решкой с равной вероятностью. Пример с подбрасыванием монеты поможет представить концепции управления рисками.

ВЕРОЯТНОСТЬ события - вероятность, выраженная отношением числа фактически случившихся к числу возможных. Так, если монета упадет орлом 50 раз из 100, то вероятность орла - 50 %. Заметьте, что вероятность должна находиться между нолем (0.0 = 0 % = невозможность) и единицей (1.0 = 100 % = неизбежность).

Вот правила игры: (1) мы начинаем с 1,000 $, (2) мы всегда делаем ставку на то, что выпадет орел, (3) мы можем делать ставку на любое количество денег, которое у нас есть, (4), если выпадет решка, мы теряем ставку, (5), если выпадает орел, мы не теряем нашу ставку; а выигрываем вдвое больше того, что ставили, и (6), монета справедлива, так что вероятность орла - 50 %. Эта игра подобна некоторым методам трейдинга.

В этом случае, наша УДАЧА равняется вероятности выигрыша, или 50 %; мы будем в выигрыше в 50 % случаев. Наше ВОЗНАГРАЖДЕНИЕ равно 2:1, так как мы выигрываем 2 на каждую поставленную 1. Наш РИСК - количество денег, на которые мы делаем ставку, и поэтому подвергаем опасности, в следующем броске. В этом примере наша удача и вознаграждение остаются постоянными, может меняться только наша ставка.

В более сложных играх, типа реальной торговли акциями, удача и вознаграждение могут меняться с изменением состояний рынка. Трейдеры, похоже, тратят много времени и сил, пытаясь изменить удачу и вознаграждение, причем напрасно, так как они неизменны. Риск - единственный параметр, который риск-менеджер может эффективно менять при управлении рисками.

Мы можем также смоделировать более сложные игры с матрицей удач и вознаграждений и увидеть диапазон возможных результатов. См. Табл. 1.

Таблица 1: матрица Вознаграждения-Удачи, показывающая шесть результатов.

Эта матрица могла бы моделировать игру "Положи-возьми" с шестисторонним волчком или даже трейдинг.

Пока, однако, вернемся к нашему исходному примеру с монетой, так как здесь достаточно измерений, чтобы проиллюстрировать множество концепций управления рисками. Более сложные примеры мы рассмотрим позже.

Оптимальная ставка

В нашем примере с подбрасыванием монеты мы имеем постоянную удачу 50%, постоянное вознаграждение 2:1 и всегда ставим на орла. Чтобы найти стратегию управления рисками, мы должны найти способ управлять ставкой. Это подобно проблеме, стоящей перед риск-менеджером в бизнесе по торговле акциями. Хорошие менеджеры понимают они ничего не могут поделать с удачей и вознаграждением, а проблема состоит в том, чтобы определить, сколько ставить на акции. Мы начинаем нашу игру с 1,000 $.

Догадки и системы

Один способ определять размер ставки - наугад. Мы можем попробовать поставить 100 $.

Хотя ставки, основанные на догадках, весьма популярны и, вероятно, занимают огромную пропорцию в реальном мире, здесь есть несколько проблем: ставки требуют постоянного внимания оператора, а кроме того, они больше зависят от капризов и чувств, чем от науки.

Чтобы улучшить положение, мы можем придумать СИСТЕМУ ставок. Система - логический метод, который определяет ряд ставок. Преимущества системы перед методом догадок - (1), мы не нуждаемся в операторе, (2), ставка становится регулярной, предсказуемой и последовательной и, очень важно, (3) мы можем проделать историческое моделирование на компьютере, чтобы ОПТИМИЗИРОВАТЬ систему ставок.

Несмотря на почти всеобщее согласие, что система имеет явные преимущества перед догадками, очень немногие риск-менеджеры на самом деле имеют собственные системы управления рисками, достаточно четкие, чтобы компьютер мог протестировать их.

Наша игра с монетой, однако, довольно проста, и мы можем придумать для нее некоторые системы ставок. Кроме того, мы можем проверить эти системы и оптимизировать их параметры, чтобы найти хорошее управление рисками.

Фиксированная ставка и ставка фиксированной доли

Наша система должна определить ставку. Один способ определить ставку состоит в том, чтобы сделать постоянной, скажем, 10 $ каждый раз, независимо от того, сколько мы выигрываем или теряем. Это - система ФИКСИРОВАННОЙ СТАВКИ. В этом случае, как и во всех подобных системах, наш АКТИВ в размере 1,000 $ может увеличиться или уменьшиться до таких размеров, когда фиксированная ставка 10 $ станет пропорционально слишком большой или маленькой, чтобы быть хорошей.

Чтобы снять эту проблему, мы можем определить ставку как ФИКСИРОВАННУЮ ДОЛЮ нашего актива. Ставка фиксированной доли в 1 % была бы, от нашей первоначальной 1,000 $, также равна 10 $. На сей раз, однако, по мере роста и падения актива, ставка будет пропорциональна ему.

Есть интересный артефакт при ставках фиксированной доли - так как ставка остается пропорциональной активу, теоретически невозможно разориться, так как официальный риск полного краха равен нолю.

Моделирование

Чтобы проверить нашу систему ставок, мы можем МОДЕЛИРОВАТЬ ее исторические результаты. Скажем, мы бросаем монету десять раз и получаем пять орлов и пять решек. Мы можем представить результаты моделирование в таблице 2.

Таблица 2: Моделирование систем фиксированной ставки и фиксированной доли.

Заметьте, что обе системы делают 20.00 $ (удвоенную ставку) на первом броске, который выпал орлом. На втором броске, система фиксированной ставки теряет 10.00 $, в то время как система фиксированной доли теряет 1 % от 1,020.00 $ или 10.20 $, оставляя 1,009.80 $.

Обратите внимание, что результаты обеих систем приблизительно идентичны. Через какое-то время, однако, система фиксированной доли нарастает по экспоненте и превосходит систему фиксированной ставки, которая растет линейно. Также обратите внимание, что результаты зависят от числа орлов и решек и нисколько не зависят от их порядка. Читатель может доказать этот результат моделированием своей таблицы.

Пирамидинг и Мартингейл

При случайном процессе, типа бросков монеты, орлы и решки чередуются хаотично, так как их правильный порядок был бы невероятным. Это явление, в силу его случайности использовать не удается. В неслучайных процессах, типа трендов цен акций, могут оказаться эффективными пирамидинг и другие методы торговли по тренду.

Пирамидинг - метод увеличения позиции, когда она становится прибыльной. В то время, как эта техника могла бы быть полезной для трейдера, наращивающего позицию до ее оптимального размера, пирамидинг на вершине уже оптимальной позиции приведет в катастрофе.

Система Мартингейл - метод удвоения при потере ставки. В случае, если удвоенная ставка также теряется, удваиваем далее. Этот метод подобен попыткам выхватить монетку из-под парового катка. В результате, одна череда проигрышей уничтожит счет.

Оптимизация с помощью моделирования

Как только мы выбираем систему ставок, скажем, систему фиксированной доли, мы можем оптимизировать ее, находя ПАРАМЕТРЫ, которые выдают лучшую ОЖИДАЕМУЮ ВЕЛИЧИНУ. В случае броска монеты, наш единственный параметр - фиксированная доля. Мы можем получить ответ с помощью моделирования. См. фигуры 3 и 4.

Примечание: пример с подбрасыванием монеты иллюстрирует некоторые элементы риска и их взаимосвязи. Это относится к монете, которая выигрывает 2:1 с шансами 50 % выпадения равного числа орлов и решек. Здесь не рассматриваются случаи, когда количества орлов и решек неодинаковы или когда они создают полосы потерь и выигрышей. Здесь не предлагаются специфические параметры рисков для торговли на рынке.

Фигура 3: Моделирование актива при системе фиксированной доли.

При ставке 0 % нет изменений актива. При размере ставки пять процентов, мы ставим 5 % от 1,000.00 $ или 50.00 $ и удваиваем их на первом броске (орел), так что имеем ожидаемую величину 1,100 $, показанную серым. Тогда наша вторая ставка - 5 % от 1,100.00 $ или 55.00 $, ее мы теряем, так что имеем 1,045.00 $. Обратите внимание, что мы получили лучший размер ставки, равный 25 %, показанный красным. Обратите также внимание, что выигрышный параметр (25 %) становится очевидным сразу после одного цикла орлов и решек. Это позволяет нам упростить проблему поиска оптимального параметра и свести ее к экспертизе лишь одного цикла орлов и решек.

Фигура 4: Ожидаемая величина (конечный актив) после десяти бросков, для системы ставки постоянной доли, для игры с выплатой 2:1.

Заметьте, что ожидаемая величина системы повышается от 1000.00 $ при увеличении доли ставки до максимальной величины приблизительно 1,800 $ при доле ставки 25 %. После этого, с увеличением доли ставки доходность снижается. Эта кривая отражает два фундаментальных принципа управления рисками: (1) Правило Робкого Трейдера: если Вы не ставите много, Вы не сделаете много, и (2) Правило Смелого Трейдера: Если Вы ставите слишком много, Вы на пути к разорению. В портфелях, которые содержат множество позиций и множество ставок, мы считаем общий риск, как температуру портфеля.

Примечание: Обратите внимание, что график иллюстрирует отношение Ожидаемую величину / Долю Ставки для игры с выплатой 2:1. График этого отношения при меняющихся выплатах показан на фигуре 8.

Оптимизация с помощью расчетов Так как наша игра с монетой относительно проста, мы можем также найти оптимальную долю ставки, используя расчеты. Так как мы знаем, что лучшая система становится очевидной после всего одного цикла орлов и решек, мы можем свести проблему к решению лишь для одной пары орел-решка.

Ставка после одной пары орел-решка

S = (1 + b*P) * (1 - b) * S0

S - ставка после одной пары орел-решка

b - доля ставки

P - выплата за победу - 2:1

S0 - ставка перед парой бросков

(1 + b*P) - эффект выигрышного броска

(1 - b) - эффект проигрышного броска

Тогда эффект пары бросков:

R = S / S0

R = (1 + bP) * (1 - b)

R = 1 - b + bP - b2P

R = 1 + b(P-1) - b2P

Обратите внимание, как при малой величине b R увеличивается по b (P-1), а при больших величинах b R уменьшается по b2P. Это математические формулировки правил робкого и смелого трейдеров.

Мы можем нанести R и b на график, который выглядит подобным тому, что мы получили моделированием, и проверить максимальную точку. Мы можем также заметить, что при максимуме наклон равен нулю, так что мы можем также добиться максимума, регулируя наклон так, чтобы он равнялся нулю.

Наклон = dR/db = (P-1) - 2bP = 0, тогда:

b = (P-1)/2P , и, для P = 2:1,

b = (2 - 1)/(2 * 2) = 0.25

Так что оптимальная ставка, как и ранее, равна 25% актива.

Оптимизация с помощью формулы Келли

Оригинальная статья J. L. Kelly's, "A New Interpretation of Information Rate", 1965, исследует способы передачи данных по телефонным линиям. Одна часть его работы, формула Келли, применяется в трейдинге, чтобы оптимизировать размер ставки.
Формула Келли
K = W - (1-W)/R
K = Доля капитала для следующей сделкиW = Историческое отношение прибыль/убытокR = Процент выигрышности-------Для примера с монетой, где процент выигрышности 2:1 с шансами 50-50 выпадения орлов и решек. Тогда ...K = 0.5 - (1 - 0.5)/2 = 0.5 - 0.25 = 0.25.Келли показывает, что оптимальная ставка будет 25%.

Фигура 5 Формула Келли

Обратите внимание, что величины W и R - долгосрочные средние, так что потребуется время, чтобы K хоть немного изменилось.

Некоторые графические отношения между удачей, вознаграждением и оптимальной долей ставки

Фигура 6: Оптимальная доля ставки линейно увеличивается с удачей, асимптотически с вознаграждением.

Этот график показывает оптимальную долю ставки при различных значениях удачи (Y) и вознаграждения (X). Оптимальная доля ставки увеличивается с ростом вознаграждения. При очень высоких вознаграждениях оптимальный размер ставки равен удаче. Например, при вознаграждении 5:1 и монете 50-50, оптимальная ставка приближается к 50 %.

Фигура 7: Оптимальная ожидаемая величина увеличивается с вознаграждением и удачей.

Этот график показывает оптимальную ожидаемую величину при различных значениях удачи и вознаграждения, учитывая ставку оптимальной долей. Чем выше вознаграждение (X: от 1:1 до 5:1) и чем выше удача (Y: от 0.20 до 0.70), тем выше ожидаемая величина. Например, самая высокая ожидаемая величина - при 70 %, выигрышей, выплаченных 5:1. Самая низкая - у монеты, которая платит 1:1 (свою ставку).

Нахождение оптимальной доли ставки от размера ставки и вознаграждения

Фигура 8: При высоком вознаграждении оптимальная доля ставки приближается к удаче.

Этот график показывает ожидаемую величину при монете с 50 % удачи для различных уровней доли ставки и вознаграждения. Ожидаемая величина имеет оптимальную точку доли ставки для каждого уровня вознаграждения. В этом случае, оптимальная доля ставки для вознаграждения 1.5:1 - приблизительно 15 %; при вознаграждении 2:1 оптимальная доля ставки - приблизительно 25 %; при вознаграждении 5:1 оптимальная доля ставки - приблизительно 45 %. Обратите внимание: Фигура 4, выше - разрез фигуры 8 на уровне вознаграждения 2:1.

Несбалансированные распределения и высокие вознаграждения

До сих пор мы рассматривали управление рисками, исходя из предположения, что на большом числе бросков число орлов и решек будет 50-50. Иногда, однако, случается полоса выигрышей. Если вознаграждение выше, чем 2:1 у сбалансированной монеты, ожидаемой величина, учитывая полосы побед, достигает максимума при стратегии "ставить все".

Например, при вознаграждении 3:1 каждый бросок дает ожидаемую величину вознаграждения- вероятности, или 3/2. Поэтому, ожидаемая величина для десяти бросков будет 1,000 $ х (1.5) 10 или приблизительно 57,665 $. Это намного превосходит ожидаемую величину около 4,200 $ от оптимизации 3:1 монеты с долей ставки 35 %, с предположением о равном распределении орлов и решек.

Стратегии почти неминуемой гибели

Стратегии "ставить все", по своей природе являются стратегиями почти неминуемой гибели. Так как шанс выживания для монет 50-50 равняется (0.5) N, где N - число бросков, то после десяти бросков шанс выживания - (0.5) 10, или приблизительно один шанс из тысячи. Так как большинство трейдеров не собирается разоряться, они не хотят принимать такую стратегию. Все же, ожидаемая величина процесса очень привлекательна, так что мы можем увидеть эту систему в использовании в случаях, когда гибель не несет ничего иного, как потерю актива.

Например, генерал, управляя солдатами, мог бы стремиться оптимизировать свою общую стратегию, посылая их на штурм укреплений, игнорируя личную безопасность. В то время, как генерал может ожидать потерять многих солдат при такой тактике, есть вероятность, что один или два из них смогут достигнуть цели и максимизировать общую ожидаемую величину миссии.

Аналогично, портфельный менеджер может разделить свои активы на различные подсчета. Он мог бы тогда рисковать 100 % каждого подсчета, думая, что, хотя можно потерять многие из них, некоторые выиграют достаточно, чтобы общая ожидаемая величина была максимальной. Этот принцип ДИВЕРСИФИКАЦИИ работает в случаях, когда высоки отдельные вознаграждения.

Диверсификация

Диверсификация - стратегия распределения инвестиции среди различных ценных бумаг, чтобы ограничить потери в случае падения отдельной акции. Стратегия полагается на среднюю акцию, имеющую выгодную ожидаемую величину или результат вознаграждения удачи. Диверсификация также предполагает некоторые психологические выгоды перед торговлей единственным инструментом, так как краткосрочные изменения стоимости одного инструмента могут быть компенсированы другим, что приведет к общему сглаживанию краткосрочной волатильности портфеля.

Измерение волатильности портфеля

Отношение Шарпа, VaR, отношение Лейка и стрессовое тестирование

С точки зрения диверсификации портфеля, отдельные компоненты складываются и становятся частью общей доходности. Портфельные менеджеры полагаются на системы измерения, чтобы определить работу совокупного фонда, типа Отношения Шарпа, VaR, Отношения Лейка и стрессовое тестирование.

Уильям Шарп (William Sharpe), в 1966 году создал свое "отношение ожидания-вариабельности" (reward-to-variability ratio). Со временем оно стало известным, как "Отношение Шарпа". Отношение Шарпа, S, дает способ сравнить инструменты с различными доходностями и различными волатильностями.

S = средняя(d)/стандартное отклонение(d) ... отношение Шарпа, где

d = Rf - Rb ... дифференциальная отдача, где

Rf - отдача фонда

Rb - отдача эталонного теста

Со временем появились различные разновидности отношения Шарпа. Один вариант пропускает эталонный тест, или приравнивает его к нолю. Другой, базирующийся на квадрате отношения Шарпа, включает в себя разницу отдачи, а не стандартное отклонение.

VaR, или Величина-в-риске (Value-at-Risk)- еще один популярный в настоящее время способ определить портфельный риск. Как правило, он измеряет самый высокий процент продауна, который может случиться за данный период времени с вероятностью 95 %. Недостатки VaR таковы - (1), исторические расчеты могут дать лишь грубые приближения будущей волатильности и (2) остается вероятность 5 %, что процент просадки превысит ожидания.

Правило большого пальца для взгляда на высоко волатильные счета, по имени автора названо Отношением Лейка (Озера). Если мы покажем доходность в виде графика за какое-то время, с пиками и ущельями, мы можем представить себе, как дождь, падая на горную цепь, заполнил водой все ущелья. Это приведет к череде озер между пиками. В случае, если портфель не растет постоянно, мы также устанавливаем дамбу на точке максимума за все время, чтобы собрать всю воду с предыдущего максимума в конечное, искусственное озеро. Полный объем воды представляет собой совокупный продукт величины просадки и ее продолжительности.

Если мы разделим полный объем воды на объем земли под ней, мы получим Отношение Озера. Процент отдачи, деленный на Отношение Озера, дает еще одно измерение отдачи нормальной волатильности.

Фигура 9: Отношение Озера

Ed Seykota