Сентябрь традиционно ассоциируется со школьными партами и новыми знаниями. Самое время для урока математики для инвесторов.
«Акции — казино, бонды — математика!», — многим инвесторам в облигации может быть знакомо это выражение. Однако, часто начинающие инвесторы не уходят дальше изучения дюрации. Разберемся, что такое модифицированная дюрация, почему и как она связана с обычной, и причем тут выпуклость.
Дюрация (Маколея)
Сложные формулы подсчета дюрации как правило могут путают инвесторов. Но все становится проще, если понимать логику расчета.
При оценке облигаций мы дисконтируем каждый получаемый в будущем денежный поток на ставку дисконтирования — YTM. Продисконтировав все будущие денежные потоки — получаем PV (Present Value) облигации — ее текущую цену, сумму PV всех будущих потоков.
Теперь возьмем PV конкретного будущего денежного потока и поделим на общую PV (то есть на цену облигации). Так, получаем вес конкретного денежного потока с учетом дисконтирования в общей стоимости облигации.
Далее умножим вес каждого потока на срок до него, и сложим эти произведения. Так мы посчитали дюрацию. Идейно это понять гораздо проще, чем с помощью формул.
Дюрация — средневзвешенный срок полного возврата инвестиций инвестора. Дюрация, как показатель длины облигации, гораздо корректнее обычного срока до погашения/оферты. Отчетливо это видно на примере облигаций с амортизацией — срок до погашения не учитывает амортизационные платежи, а дюрация — учитывает их в полной мере.
У бескупонной облигации дюрация равна сроку до погашения, так как это единственный платеж по бумаге, а значит его вес = 100% в PV.
Модифицированная дюрация
Дюрация, как мера процентного риска, является показателем эластичности изменения цены облигации из-за изменения требуемой доходности по ней.
Однако, математический вывод таков, что дюрация Маколея не является прямым “мультипликатором” этого изменения. Но им является модифицированная дюрация.
y — YTM облигации, та самая ставка дисконтирования денежных потоков по облигации.
Модифицированная дюрация является аппроксимацией изменения цены облигации от изменения требуемой доходности:
ΔP ≈ –MD*Δy,
Изменение доходности (Δy), умноженное на модифицированную дюрацию (MD) со знаком минус примерно равно изменению в цене (ΔP).
Чем меньше значения, тем лучше аппроксимация. Математический вывод, который кроется под этой простой формулой, предполагает приближение на “малых” значениях.
Что такое выпуклость?
Если построить график цены облигации в зависимости от ее YTM, то мы получим что-то похожее на гиперболу.
На графике синей линией нарисован график цены облигации от YTM. Если взять какую-то конкретную точку во времени, когда у облигации есть значение доходности y0, то попадем на этом графике в точку текущей цены. Идея в том, что если провести касательную к графику в этой точке, то получим линию, наклон которой равен модифицированной дюрации! Построить сам график сложно и не так быстро, как использовать рассчитанные по нему параметры. Если изменения доходности от точки y0 мало, то в целом аппроксимация изменения цены по этой прямой линии не сильно хуже, чем по настоящему графику.
Однако, чем больше изменение доходности от точки y0, тем больше появляется погрешность истинного изменения цены бонда от его приближения с использованием модифицированной дюрации. Это происходит за счет того, что график цены облигации от YTM выпуклый, и поэтому получить точное значение изменения цены на не малых изменениях YTM с помощью модифицированной дюрации не получится.
Практическая полезность сложного расчета с использованием значений выпуклости не всегда имеется. Важнее понимать саму идею — что модифицированная дюрация работает на малых изменениях, так как график выпуклый, что искажает ее приближение на более значимых изменениях. Поэтому при расчете потенциального апсайда в облигации из-за снижения ее доходности, не стоит опираться на точные значения, полученные из умножения модифицированной дюрации (с обратным знаком) на изменение доходности.
Более надежным способом будет оценка цены облигации в Excel при новой ставке к конкретной дате. Этот расчет будет более корректным, точным, и скорее всего, более простым.
Не является индивидуальной инвестиционной рекомендацией | При копировании ссылка обязательна | Нашли ошибку - выделить и нажать Ctrl+Enter | Жалоба