Активируйте JavaScript для полноценного использования elitetrader.ru Проверьте настройки браузера.
Алготорговля коинтегрированными активами » Элитный трейдер
Элитный трейдер
Искать автора

Алготорговля коинтегрированными активами

19 августа 2015 QuantAlgos

Вступление

Успех многих торговых алгоритмов зависит от качества предсказаний движения цены актива. Предсказания цены отдельной акции в общем случае менее точно, чем предсказание значения портфеля активов. Классической стратегией, которая использует совместное поведение двух активов, является парный трейдинг, где портфель состоит из линейной комбинации этих активов. Для примера, это могут быть две акции, чей спред, представляющий собой разницу их цен, демонстрирует особый паттерн, отклонения от которого носят временный характер. Алгоритм парного трейдинга получает прибыль от ставки на тот факт, что отклонения спреда возвратятся к их историческому или предсказуемому уровню.

В данной работе мы создадим оптимальную стратегию, в которой агент открывает позиции в n коинтегрированных активах. Цель стратегии - получение прибыли от структурной зависимости в динамике их цен . Мы предполагаем, что активы коинтегрированы и создадим алгоритмическую торговую стратегию, где инвестор максимизирует ожидаемую функцию владения ( то есть вложенные и наличные средства). Мы выведем отдельную закрытую формулу для оптимальной (динамической) инвестиционной стратегии и покажем, что она учитывает коинтеграционный фактор. Далее, мы используем данные торгов с биржи Nasdaq для калибровки модели и проведем симуляцию, чтобы продемонстрировать, насколько стратегия производительна, в случае, когда инвестор открывает позиции в трех активах : Google, Facebook и Amazon.

Мы предполагаем, что дрифт в приращениях цен активов состоит из компонента, присущего только данному активу, и общего компонента для всех используемых активов. Общий компонент, который мы называем краткосрочной альфа, представляет собой процесс возврата к среднему с нулевым средним, являющийся естественным источником прибыли в торговой стратегии - он определяет прибыль от краткосрочных инвестиционных возможностей для коллекции активов.

Коинтегрированные логарифмы цен с краткосрочной альфа

Предположим, что дрифт в приращениях цен активов состоит из особого и общего компонентов. Особый компонент есть результат факторов, влияющих только на каждый отдельный актив, и общий компонент - результат индустриального или секторального набора факторов, которые влияют на всю коллекцию используемых активов. Таким образом, у нас есть коллекция активов, чей вектор цен обозначим Алготорговля коинтегрированными активами, который удовлетворяет системе дифференциальных уравнений:

\begin{equation}\frac{dY_t^k}{Y_t^k}=(\nu_k+\delta_k\alpha_t)dt+\sum_{i=1}^n\sigma_{ki}dW_t^i\end{equation}

где особый компонент Алготорговля коинтегрированными активами является константой, и общий компонент :

Алготорговля коинтегрированными активами,

где Алготорговля коинтегрированными активами - константы, и Алготорговля коинтегрированными активами - специальная константа , которая показывает, как общий компонент влияет на каждый актив.

Алготорговля коинтегрированными активами - стандартные Броуновские движения, независящие друг от друга, собранные в вектор Алготорговля коинтегрированными активами, и Алготорговля коинтегрированными активами - неотрицательные константы. Мгновенную ковариацию между активами i и j можно определить как:

Алготорговля коинтегрированными активами


Далее, обозначим Алготорговля коинтегрированными активами матрицу, чьими элементами являются Алготорговля коинтегрированными активами, представляющую собой разложение Холецкого мгновенной дисперсионно-ковариационной матрицы Алготорговля коинтегрированными активами, таким образом Алготорговля коинтегрированными активами, где ' обозначает оператор транспонирования. Предположим, что нет дополнительных степеней свободы, так что Алготорговля коинтегрированными активами является обратимой.

Покажем, что Алготорговля коинтегрированными активами ведет себя как фактор коинтеграции. Когда Алготорговля коинтегрированными активами все активы являются геометрическими броуновскими движениями с дрифтом Алготорговля коинтегрированными активами. В общем случае, на рынках акций, Алготорговля коинтегрированными активами будет ненулевой и отклонения от ее долгосрочного или предсказуемого уровня быстро нивелируются. Такое поведение этого компонента мы назовем краткосрочной альфа, и она представляет собой отклонения от ожидаемого приращения активов.

Докажем, что Алготорговля коинтегрированными активами является коинтеграционным фактором, продемонстрировав, что это, несомненно, процесс возврата к среднему. Во-первых отметим, что логарифмы цен удовлетворяют дифференциальному уравнению:

Алготорговля коинтегрированными активами,

которое мы используем для вычисления дифференциала Алготорговля коинтегрированными активами:

\begin{equation}d\alpha_t=\sum_{k=1}^n a_k(\nu_k+\delta_k\alpha_t-\frac{1}{2}\Omega_{kk})dt+\sum_{k=1}^n a_k\sum_{i=1}^n\sigma_{ki}dW_t^i\end{equation}

Таким образом, мы можем записать компонент краткосрочной альфы как процесс возврата к среднему:

Алготорговля коинтегрированными активами


Здесь, оператор Tr() обозначает след матрицы, и А=diag(a) - диагональная матрица, чья диагональ состоит из а. Для уверенности, что модель действительно описывает процесс возврата к среднему, мы предположим, что Алготорговля коинтегрированными активами - и это мы увидим в результатах калибровки модели на реальных данных с биржи Nasdaq.

Рассматривая динамику (2), мы можем видеть, что возвращается к среднему с частотой, которая зависит от различной степени воздействия, какую оказывает на каждый актив (через Алготорговля коинтегрированными активами), а также от силы вклада логарифма цены актива в саму Алготорговля коинтегрированными активами (через а). Уровень возврата к среднему Алготорговля коинтегрированными активами зависит от отношения волатильности к воздействию каждого компонента на общий дрифт активов и на дрифт каждого актива.

Альтернативное представление модели можно вывести, поместив выражение для Алготорговля коинтегрированными активами непосредственно в дифференциальное уравнение для Алготорговля коинтегрированными активами. В этом случае, мы получаем:

Алготорговля коинтегрированными активами,

и если мы обозначим Алготорговля коинтегрированными активами, где логарифм применен к каждому компоненту, то

Алготорговля коинтегрированными активами,

где Алготорговля коинтегрированными активами.

В этом представлении мы видим, что логарифм цены представляет собой векторно-авторегрессивную модель 1 порядка (VAR(1)). Отметим здесь, что B - вырожденная матрица. которая имеет одно положительное собственное значение, соответственно единственному фактору коинтеграции, который мы заложили в модель.

В следующей части мы найдем оптимальное динамическое уравнение распределения активов для нашего портфеля в закрытой форме, а затем продемонстрируем, как использовать выведенные формулы на практике, на примере портфеля из трех акций.