7 марта 2020 smart-lab.ru Логунов Евгений
В этой статье я рассмотрю одно из ограничений, которое должно выполняться для «хорошей» модели улыбки волатильности.
Основная идея
Допустим, у нас есть модель улыбки волатильности
, с использованием которой мы оцениваем европейские опционы типа «call» 
и и «put» 
по формуле Блэка-Шоулза. Далее для краткости я буду опускать некоторые аргументы в последних двух выражениях, уделяя внимание лишь тем аргументам, которые важны.
В работе [1] (см. список литературы) было предложено следующее ограничение на улыбку волатильности: она должна быть такова, чтобы стоимость колл-спредов и пут-спредов была неотрицательна, т.е. для любой пары страйков
и и 
таких что 
должно выполняться 
и 
. В работе [2] требование для путов было усилено до 
.
Продифференцируем
по 
: 
.
Отсюда получим верхнюю границу для наклона улыбки волатильности:
.
Аналогичным образом может быть получена нижняя граница; в этом случае дифференцировать следует
или 
, для получения усиленной в [2] границы.
Воспользуемся составляющими формулы Блэка-Шоулза, чтобы в явном виде записать выражения для верхней и нижней границ наклона улыбки волатильности:
, 
. Также определим функцию 
(известную как Mills ratio), где 
— PDF стандартного нормального распределения, 
— CDF стандартного нормального распределения.
Согласно Hodges [1], наклон улыбки в каждой точке должен удовлетворять:
.
Усиленное требование, согласно Gatheral [2] и Carr, Wu [3], имеет вид:
.
Небольшая иллюстрация
Выбрав некоторое значение
в точке 
можно рассмотреть случай, когда наклон улыбки равен одной из границ, и численно проинтегрировать полученные дифференциальные уравнения. В результате получим границы, за которые не должна выходить улыбка волатильности при заданной волатильности at-the-money:
Т.е. края улыбки не могут быть задраны произвольно высоко, как и не может быть произвольным наклон на центре. Подумайте над этим, применительно к вашей любимой модели улыбки волатильности и вашему любимому софту.
Быстрый способ обнаружения арбитража
Пусть даны две котировки в терминах implied volatility:
и 
.
Обозначим оценку верхней границы наклона улыбки волатильности в точке
как 
.
Арбитраж возможен, если
.
Оценка производной улыбки, стоящая в левой части неравенства, разумеется, является приближенной. Думайте, прежде чем применять.
Немного кода на R
Литература
1. Hardy M. Hodges «Arbitrage Bounds of the Implied Volatility Strike and Term Structures of European-Style Options» / The Journal of Derivatives, 1996, Volume 3, Issue 4, p. 23-35
2. Jim Gatheral «The volatility skew: Arbitrage constraints and asymptotic behaviour» / Merrill Lynch, 1999
3. Peter Carr, Liuren Wu «The finite moment logstable process and option pricing» / Journal of Finance, 2002
4. Roger W. Lee «Implied Volatility: Statics, Dynamics, and Probabilistic Interpretation» / November 22, 2002 / Recent Advances in Applied Probability, Springer 2004
5. Michael Paul Veran Roper «Implied Volatility: General Properties and Asymptotics» (PhD thesis) / October 14, 2009
Основная идея
Допустим, у нас есть модель улыбки волатильности
, с использованием которой мы оцениваем европейские опционы типа «call» и и «put» по формуле Блэка-Шоулза. Далее для краткости я буду опускать некоторые аргументы в последних двух выражениях, уделяя внимание лишь тем аргументам, которые важны.В работе [1] (см. список литературы) было предложено следующее ограничение на улыбку волатильности: она должна быть такова, чтобы стоимость колл-спредов и пут-спредов была неотрицательна, т.е. для любой пары страйков
и и таких что должно выполняться и . В работе [2] требование для путов было усилено до .Продифференцируем
по : Отсюда получим верхнюю границу для наклона улыбки волатильности:
.Аналогичным образом может быть получена нижняя граница; в этом случае дифференцировать следует
или , для получения усиленной в [2] границы.Воспользуемся составляющими формулы Блэка-Шоулза, чтобы в явном виде записать выражения для верхней и нижней границ наклона улыбки волатильности:
, . Также определим функцию (известную как Mills ratio), где — PDF стандартного нормального распределения, — CDF стандартного нормального распределения.Согласно Hodges [1], наклон улыбки в каждой точке должен удовлетворять:
.Усиленное требование, согласно Gatheral [2] и Carr, Wu [3], имеет вид:
.Небольшая иллюстрация
Выбрав некоторое значение
в точке можно рассмотреть случай, когда наклон улыбки равен одной из границ, и численно проинтегрировать полученные дифференциальные уравнения. В результате получим границы, за которые не должна выходить улыбка волатильности при заданной волатильности at-the-money:Т.е. края улыбки не могут быть задраны произвольно высоко, как и не может быть произвольным наклон на центре. Подумайте над этим, применительно к вашей любимой модели улыбки волатильности и вашему любимому софту.
Быстрый способ обнаружения арбитража
Пусть даны две котировки в терминах implied volatility:
и .Обозначим оценку верхней границы наклона улыбки волатильности в точке
как .Арбитраж возможен, если
.Оценка производной улыбки, стоящая в левой части неравенства, разумеется, является приближенной. Думайте, прежде чем применять.
Немного кода на R
Литература
1. Hardy M. Hodges «Arbitrage Bounds of the Implied Volatility Strike and Term Structures of European-Style Options» / The Journal of Derivatives, 1996, Volume 3, Issue 4, p. 23-35
2. Jim Gatheral «The volatility skew: Arbitrage constraints and asymptotic behaviour» / Merrill Lynch, 1999
3. Peter Carr, Liuren Wu «The finite moment logstable process and option pricing» / Journal of Finance, 2002
4. Roger W. Lee «Implied Volatility: Statics, Dynamics, and Probabilistic Interpretation» / November 22, 2002 / Recent Advances in Applied Probability, Springer 2004
5. Michael Paul Veran Roper «Implied Volatility: General Properties and Asymptotics» (PhD thesis) / October 14, 2009
Не является индивидуальной инвестиционной рекомендацией | При копировании ссылка обязательна | Нашли ошибку - выделить и нажать Ctrl+Enter | Жалоба