5 декабря 2018 smart-lab.ru
В теории опционов ключевую роль играет понятие теоретической или справедливой цены. Чем правильнее она рассчитана, тем выше шансы игрока на получение прибыли. Обилие математики в опционных расчетах убеждает, что именно профессиональные математики должны преуспевать в этой игре. Не ставя под сомнение последнее утверждение, сформулирую несколько вопросов, ответов на которые и сам, вообще-то, не знаю. Вопросы, тем не менее, важные. От ответов на них зависит, вправе ли мы использовать аппарат ТВиС при нахождении справедливых цен опционов.
1. Насколько оправдано использование математического ожидания при нахождении справедливой стоимости опционов
При расчете справедливой цены опциона (то есть цены, не дающей преимущества ни одной из сторон) используется соотношение:
MO[выигрыш продавца] = MO[выигрыш покупателя] = 0
Почему именно матожидание? Ответ вроде бы очевиден – потому что это самая содержательная и самая удобная из всех числовых характеристик случайной величины. Теперь рассмотрим пример.
Санкт-Петербургский парадокс.
Рациональному инвестору предлагается купить лотерейный билет, выигрыш по которому определяется по результатам подбрасывания монеты. Монета подбрасывается до первого выпадения орла. Если орел выпал на первом же броске, игра заканчивается и покупатель получает выигрыш в размере: 2^0=1 рублей,
если на втором: 2^1=2, на третьем: 2^2=4, …, на k-м броске: 2^(k-1) рублей, ...
Необходимо рассчитать “справедливую” стоимость такого билета. Кажется очевидным, что она должна равняться математическому ожиданию выигрыша покупателя. Зная вероятности всех возможных исходов, нетрудно посчитать
MO[выигрыша] = 1/2^1 + 2/2^2 + 4/2^3 + …2^(k-1)*1/2^k+… = 1/2+1/2…+1/2+… = бесконечность.
То есть билет следует покупать по любой цене, поскольку она всегда будет ниже ожидаемого бесконечного выигрыша. Может показаться, что найденное решение противоречит здравому смыслу. На самом деле никакого противоречия нет. Из парадокса следует лишь то, что матожидание выигрыша нельзя считать единственным и универсальным критерием качества в задачах оптимального инвестирования. По крайней мере, не следует использовать его там, где у распределений возможны “тяжелые” хвосты.
В теории опционов, кажется, все согласны с тем, что терминальные распределения базовых активов имеют хвосты более тяжелые, чем хвосты логнормального распределения. Насколько тяжелые? Не оказываемся ли мы в зоне действия парадокса, там, где использование математического ожидания приводит к ошибочному решению?
3. Оправдано ли использование логарифмического нормального распределения для описания терминального состояния базового актива
Можно догадаться, почему именно логнормальную модель распределения использовали Блэк и Шолес при решении задачи о нахождении справедливой стоимости опциона. Модель с гауссовыми приращениями брать было нельзя – она допускает уход цены БА в отрицательную область. Следующая, относительно простая логнормальная модель вполне годилась. Найденное на ее основе решение стало основой всей современной теории опционов.
Теперь ложка дегтя.
Мы предполагаем, что приращения цен акций, входящих в расчет индекса РТС, независимы и подчинены закону логарифмического нормального распределения. Поэтому при вычислении цен опционов на эти акции мы используем формулы БШ.
Но, согласно Центральной предельной теореме, из этого же предположения следует и то, что распределение приращений их линейной комбинации (то есть самого индекса РТС) должно быть близким к нормальному, тогда для расчета стоимости опционов на индекс РТС правильнее использовать формулу Башелье. Тем не менее, мы используем формулу БШ. Видимо, в расчете на то, что кривая волатильности все исправит.
4. Оправдано ли представление эволюции цены базового актива случайным процессом
И наконец, почему мы вообще решили, что имеем дело со случайными процессами? Существуют ли объективные методы подтверждения или опровержения этой гипотезы?
Случайность — это “цепь невыясненных закономерностей, скрытых за порогом нашего понимания”. Предположение о случайном поведении цен можно делать только будучи уверенными в том, что все участники рынка равны в степени своей неосведомленности, а это в высшей степени сомнительно.
Рассмотрим пример. Дано разложение иррационального числа в бесконечную десятичную дробь. Пусть это будет число ПИ=3.14159265 ….. Сформируем на основе этого разложения детерминированный процесс. При появлении четной цифры делаем шаг вверх, при появлении нечетной – вниз. Никакими методами статистики этот детерминированный процесс нельзя отличить от случайного!
Если в степени своего незнания все участники рынка равны и рассматривают процесс как случайный, игра будет честной. Если же хотя бы один из игроков знает о процессе больше других, он сможет предсказывать будущие приращения цены и, следовательно, постоянно выигрывать. Остальные игроки смогут усомниться в своих предположениях только по отрицательной динамике торговых счетов. По всем остальным статистическим признакам процесс будет по-прежнему выглядеть, как случайный.
И наконец, управляемые процессы. Хороший пример – шахматы. Чем хуже разбирается в них сторонний наблюдатель, тем больше у него оснований полагать, что поведение фигур на доске подчинено случайным законам. Только серия проигрышей тому, кто знает о шахматах больше, заставить его изменить свое мнение.
Иными словами, для того, чтобы убедиться в применимости или неприменимости аппарата ТВиС в каждом конкретном случае, необходимо использовать нестатистические методы исследований, которых в классической теории опционов нет.
1. Насколько оправдано использование математического ожидания при нахождении справедливой стоимости опционов
При расчете справедливой цены опциона (то есть цены, не дающей преимущества ни одной из сторон) используется соотношение:
MO[выигрыш продавца] = MO[выигрыш покупателя] = 0
Почему именно матожидание? Ответ вроде бы очевиден – потому что это самая содержательная и самая удобная из всех числовых характеристик случайной величины. Теперь рассмотрим пример.
Санкт-Петербургский парадокс.
Рациональному инвестору предлагается купить лотерейный билет, выигрыш по которому определяется по результатам подбрасывания монеты. Монета подбрасывается до первого выпадения орла. Если орел выпал на первом же броске, игра заканчивается и покупатель получает выигрыш в размере: 2^0=1 рублей,
если на втором: 2^1=2, на третьем: 2^2=4, …, на k-м броске: 2^(k-1) рублей, ...
Необходимо рассчитать “справедливую” стоимость такого билета. Кажется очевидным, что она должна равняться математическому ожиданию выигрыша покупателя. Зная вероятности всех возможных исходов, нетрудно посчитать
MO[выигрыша] = 1/2^1 + 2/2^2 + 4/2^3 + …2^(k-1)*1/2^k+… = 1/2+1/2…+1/2+… = бесконечность.
То есть билет следует покупать по любой цене, поскольку она всегда будет ниже ожидаемого бесконечного выигрыша. Может показаться, что найденное решение противоречит здравому смыслу. На самом деле никакого противоречия нет. Из парадокса следует лишь то, что матожидание выигрыша нельзя считать единственным и универсальным критерием качества в задачах оптимального инвестирования. По крайней мере, не следует использовать его там, где у распределений возможны “тяжелые” хвосты.
В теории опционов, кажется, все согласны с тем, что терминальные распределения базовых активов имеют хвосты более тяжелые, чем хвосты логнормального распределения. Насколько тяжелые? Не оказываемся ли мы в зоне действия парадокса, там, где использование математического ожидания приводит к ошибочному решению?
3. Оправдано ли использование логарифмического нормального распределения для описания терминального состояния базового актива
Можно догадаться, почему именно логнормальную модель распределения использовали Блэк и Шолес при решении задачи о нахождении справедливой стоимости опциона. Модель с гауссовыми приращениями брать было нельзя – она допускает уход цены БА в отрицательную область. Следующая, относительно простая логнормальная модель вполне годилась. Найденное на ее основе решение стало основой всей современной теории опционов.
Теперь ложка дегтя.
Мы предполагаем, что приращения цен акций, входящих в расчет индекса РТС, независимы и подчинены закону логарифмического нормального распределения. Поэтому при вычислении цен опционов на эти акции мы используем формулы БШ.
Но, согласно Центральной предельной теореме, из этого же предположения следует и то, что распределение приращений их линейной комбинации (то есть самого индекса РТС) должно быть близким к нормальному, тогда для расчета стоимости опционов на индекс РТС правильнее использовать формулу Башелье. Тем не менее, мы используем формулу БШ. Видимо, в расчете на то, что кривая волатильности все исправит.
4. Оправдано ли представление эволюции цены базового актива случайным процессом
И наконец, почему мы вообще решили, что имеем дело со случайными процессами? Существуют ли объективные методы подтверждения или опровержения этой гипотезы?
Случайность — это “цепь невыясненных закономерностей, скрытых за порогом нашего понимания”. Предположение о случайном поведении цен можно делать только будучи уверенными в том, что все участники рынка равны в степени своей неосведомленности, а это в высшей степени сомнительно.
Рассмотрим пример. Дано разложение иррационального числа в бесконечную десятичную дробь. Пусть это будет число ПИ=3.14159265 ….. Сформируем на основе этого разложения детерминированный процесс. При появлении четной цифры делаем шаг вверх, при появлении нечетной – вниз. Никакими методами статистики этот детерминированный процесс нельзя отличить от случайного!
Если в степени своего незнания все участники рынка равны и рассматривают процесс как случайный, игра будет честной. Если же хотя бы один из игроков знает о процессе больше других, он сможет предсказывать будущие приращения цены и, следовательно, постоянно выигрывать. Остальные игроки смогут усомниться в своих предположениях только по отрицательной динамике торговых счетов. По всем остальным статистическим признакам процесс будет по-прежнему выглядеть, как случайный.
И наконец, управляемые процессы. Хороший пример – шахматы. Чем хуже разбирается в них сторонний наблюдатель, тем больше у него оснований полагать, что поведение фигур на доске подчинено случайным законам. Только серия проигрышей тому, кто знает о шахматах больше, заставить его изменить свое мнение.
Иными словами, для того, чтобы убедиться в применимости или неприменимости аппарата ТВиС в каждом конкретном случае, необходимо использовать нестатистические методы исследований, которых в классической теории опционов нет.
Не является индивидуальной инвестиционной рекомендацией | При копировании ссылка обязательна | Нашли ошибку - выделить и нажать Ctrl+Enter | Жалоба