26 января 2020 smart-lab.ru
Для того, чтобы продать волатильность, нам необходимо продать стрэддл — этим, мы полностью избавляемся от чувствительности к направлению движения цены, оставляя при этом чувствительность к «волатильности»… Чтобы не запутаться, обозначим первую волатильность за IV (Implied Volatility) и будем считать её заранее известной и эффективной.
Если бы рынок был монеткой и выходил бы на экспирацию двумя возможными вариантами {+IV, -IV }, то результатом продажи нашей опционной конструкции был бы ровно 0, в силу равенства IV=RV. Но рынок выходит на экспирацию через «тренды» и «пилы», которые выводят Базовый Актив в том числе далеко за ± IV, и в том числе и в ноль. В результате, конечное отклонение от ± IV и, соответственно, риски, которые мы принимаем при продаже стрэддла, составляют приблизительно :
где S — СКО, RV ( «реализованная волатильность») - отклонение цены на экспирацию, t — время до экспирации, а сигма0 — величина шага движения цены. Это уравнение можно получить численно, а можно, взяв интеграл по соответствующему распределению Гаусса (аналитический вариант).
Теперь рассмотрим наш стрэддл несколько повнимательней:
Наш стрэддл имеет две длинные ноги, имеющих дельту ± 1 (для простоты считаем тетта=0), и легко хеджирующихся такими же фьючерсами, и одну особую точку — центральный страйк, для которого дельта (первая производная по цене) = 0, но гамма (вторая производная по цене) = -20, и она уже фьючерсами никак не хеджируется. Для простоты, конечно, мы полагаем, что цена изменяется как-то дискретно с некоторым шагом H (10 центов на рисунке).
И как бы мы не хотели захеджировать эту особую точку — мы этого сделать не можем, так как контр-инструмент, то есть фьючерс, не обладает никакой гаммой и не в состоянии её захеджировать (хеджирование опционами мы не рассматриваем). При этом, сколько бы наша дельта не стремилась здесь к нулю, из-за существования гаммы наша конструкция все равно остаётся чувствительной к изменению цен БА*.
* В этом смысле, стоимость опциона это отнюдь не стоимость его дельта-хеджа.
Теперь, чтобы рассчитать предельную (конечную) эффективность идеального дельта-хеджирования, нам нужно всего лишь рассчитать неопределённость или риски, связанные с гаммой. Для чего, сначала рассчитаем среднее время пребывания нашего стрэддла на ЦС:
где N — время до экспирации в единицах интервала рехеджа, равное числу изменений цены или числу рехеджей.
Полученное время есть, в свою очередь, случайная величина, для которой, можно записать:
(вышеприведенные результаты подтверждены моделированием)
Теперь, поскольку мы полностью захеджировали риски в иных ситуациях, то оставшиеся после дельта-хеджа риски составят:
где RGR — остаточный гамма-риск (Residual Gamma Risk), H — шаг дельта-хеджирования, N — количество шагов до экспирации.
Переходя к непрерывному случаю и, учитывая вид 2-ого члена в разложении Тейлора, получим выражение для непрерывного остаточного гамма-риска :
Таким образом, мы получили теоретический предел сжатия рисков при помощи дельта-хеджирования. Изобразим полученную зависимость графически:
Иллюстрация. Зависимость остаточных рисков от частоты дельта-хеджирования.
Теперь сравним полученное теоретическое значение с экспериментальным, захеджировав по 10 000 стрэддлов, длительностью 15, 60 и 240 шагов (дней) при помощи одного из моих алгоритмов хеджирования, при априорно заданных IV=H=1.
Рис. 1. Стрэддл на 15 дней, 10 000 симуляций :
Теоретический Риск стреддла = 2.32 , Эмпирический результат = 2.24
Остаточный Гамма-Риск (теория) = 0.78, Эмпирический результат = 0.81
Рис. 2. Стрэддл на 60 дней, 10 000 симуляций :
Теоретический Риск стреддла = 4.64, Эмпирический результат = 4.63
Остаточный Гамма-Риск (теория) = 1.18, Эмпирический результат = 1.26
Рис. 3. Стрэддл на 240 дней, 10 000 симуляций :
Теоретический Риск стреддла = 9.29, Эмпирический результат = 9.22
Остаточный Гамма-Риск (теория) = 1.71, Эмпирический результат = 2.29
/ (C) Источник
Не является индивидуальной инвестиционной рекомендацией
При копировании ссылка обязательна Нашли ошибку: выделить и нажать Ctrl+Enter
Если бы рынок был монеткой и выходил бы на экспирацию двумя возможными вариантами {+IV, -IV }, то результатом продажи нашей опционной конструкции был бы ровно 0, в силу равенства IV=RV. Но рынок выходит на экспирацию через «тренды» и «пилы», которые выводят Базовый Актив в том числе далеко за ± IV, и в том числе и в ноль. В результате, конечное отклонение от ± IV и, соответственно, риски, которые мы принимаем при продаже стрэддла, составляют приблизительно :
где S — СКО, RV ( «реализованная волатильность») - отклонение цены на экспирацию, t — время до экспирации, а сигма0 — величина шага движения цены. Это уравнение можно получить численно, а можно, взяв интеграл по соответствующему распределению Гаусса (аналитический вариант).
Теперь рассмотрим наш стрэддл несколько повнимательней:
Наш стрэддл имеет две длинные ноги, имеющих дельту ± 1 (для простоты считаем тетта=0), и легко хеджирующихся такими же фьючерсами, и одну особую точку — центральный страйк, для которого дельта (первая производная по цене) = 0, но гамма (вторая производная по цене) = -20, и она уже фьючерсами никак не хеджируется. Для простоты, конечно, мы полагаем, что цена изменяется как-то дискретно с некоторым шагом H (10 центов на рисунке).
И как бы мы не хотели захеджировать эту особую точку — мы этого сделать не можем, так как контр-инструмент, то есть фьючерс, не обладает никакой гаммой и не в состоянии её захеджировать (хеджирование опционами мы не рассматриваем). При этом, сколько бы наша дельта не стремилась здесь к нулю, из-за существования гаммы наша конструкция все равно остаётся чувствительной к изменению цен БА*.
* В этом смысле, стоимость опциона это отнюдь не стоимость его дельта-хеджа.
Теперь, чтобы рассчитать предельную (конечную) эффективность идеального дельта-хеджирования, нам нужно всего лишь рассчитать неопределённость или риски, связанные с гаммой. Для чего, сначала рассчитаем среднее время пребывания нашего стрэддла на ЦС:
где N — время до экспирации в единицах интервала рехеджа, равное числу изменений цены или числу рехеджей.
Полученное время есть, в свою очередь, случайная величина, для которой, можно записать:
(вышеприведенные результаты подтверждены моделированием)
Теперь, поскольку мы полностью захеджировали риски в иных ситуациях, то оставшиеся после дельта-хеджа риски составят:
где RGR — остаточный гамма-риск (Residual Gamma Risk), H — шаг дельта-хеджирования, N — количество шагов до экспирации.
Переходя к непрерывному случаю и, учитывая вид 2-ого члена в разложении Тейлора, получим выражение для непрерывного остаточного гамма-риска :
Таким образом, мы получили теоретический предел сжатия рисков при помощи дельта-хеджирования. Изобразим полученную зависимость графически:
Иллюстрация. Зависимость остаточных рисков от частоты дельта-хеджирования.
Теперь сравним полученное теоретическое значение с экспериментальным, захеджировав по 10 000 стрэддлов, длительностью 15, 60 и 240 шагов (дней) при помощи одного из моих алгоритмов хеджирования, при априорно заданных IV=H=1.
Рис. 1. Стрэддл на 15 дней, 10 000 симуляций :
Теоретический Риск стреддла = 2.32 , Эмпирический результат = 2.24
Остаточный Гамма-Риск (теория) = 0.78, Эмпирический результат = 0.81
Рис. 2. Стрэддл на 60 дней, 10 000 симуляций :
Теоретический Риск стреддла = 4.64, Эмпирический результат = 4.63
Остаточный Гамма-Риск (теория) = 1.18, Эмпирический результат = 1.26
Рис. 3. Стрэддл на 240 дней, 10 000 симуляций :
Теоретический Риск стреддла = 9.29, Эмпирический результат = 9.22
Остаточный Гамма-Риск (теория) = 1.71, Эмпирический результат = 2.29
/ (C) Источник
Не является индивидуальной инвестиционной рекомендацией
При копировании ссылка обязательна Нашли ошибку: выделить и нажать Ctrl+Enter