Как мы знаем внутреннюю (приведенную стоимость) облигации можно оценить с помощью следующей формулы потока платежей:
Где:
CFn – купоны
NOMINAL – сумма, которую получит инвестор при погашении облигации
i – ставка доходности
n – год получения купона
N – последний год
PV – приведенная стоимость облигации
В бессрочной облигации нет погашения номинала – NOMINAL, и количество платежей бесконечно, тогда формула принимает вид:
Для простоты предположим, что мы имеем дело с бессрочной облигацией с постоянным купоном. Тогда CFn=CF, а формула примет вид:
Теперь сделаем несколько преобразований:
1. Для начала умножим обе части на (1+i) и получим:
2. Вычтем из первого выражения второе:
3. Так как:
Получаем:
Смотря на эту формулу, получается интересный вывод: i – для бессрочной облигации одновременно является текущей доходностью и «доходностью к погашению» (термин – который используется в облигациях). Иными словами, используя ее мы можем либо найти приведенную стоимость облигации, либо определить то, что называют «доходность к погашению», хотя формально это облигация никогда погашена не будет.
Те, кто знает, как правильно инвестировать в облигации, представляют, что кроме доходности к погашению, хорошо бы посчитать еще три показателя: дюрацию Маколея, модифицированную дюрацию и выпуклость(кривизну).
Здесь я выводы приводить не буду, а просто дам готовые формулы.
Дюрация Маколея будет:
Модифицированная дюрация:
Выпуклость (кривизна):
Давайте разберем пример. Пусть у нас есть бессрочная облигация с «доходностью к погашению» в 8.92%. Необходимо рассчитать, как измениться ее цена если процентные ставки параллельно пойдут вниз на 2 процентных пункта. И через сколько лет поток мы получим эффект иммунизации?
Модифицированная дюрация для такой облигации будет:
Выпуклость:
Считаем изменение цены облигации:
Таким образом цена облигации вырастет на 27.4%.
Эффект иммунизации проявится через 12.2 года:
Зная принципы расчетов параметров бессрочных облигаций, можно не только эффективно инвестировать в них, управлять дюрацией портфеля, но также рассчитывать, например, теоретическую стоимость фьючерсов.
Недавно московская биржа запустила торговлю вечным фьючерсом на валюту, и одним из вопросов, который стоит перед инвесторами, какая же должна быть теоретическая стоимость фьючерса. Напомню, что теоретическая цена простого контракта рассчитывается по формуле:
Где:
F – фьючерсная цена
S – спот цена на рынке
i – безрисковая ставка
t – количество дней до исполнения фьючерса
T – база дней в году 360/365
Но контракт USDRUBF не истекает – он все время лонгируется, что делает его бесконечным.
Давайте посмотрим на это с другой стороны.
Так на конец 9 июня 2022 стоимость бессрочного контракта USDRUBF была 64,33, в то время как спот цена доллара на рынке составила 59,25 рублей. Это значит, что цена фьючерса была на 8,57% выше. Используем формулу дюрации Маколея для бесрочных облигаций и для этой ставки:
Теперь сравним этот результат с теми доходностями, которые мы видели на ОФЗ 9 июня 2022, для чего построим кривую доходности ОФЗ. Уравнение кривой на графике.
Теперь рассчитаем какова доходность ОФЗ для дюрации 12.66:
Формально получается, что доходность ОФЗ выше, чем 8.57% заложенная во фьючерсе, а значит можно сказать, что его цена даже мала, хотя в условиях таких расчетов 0.4% можно считать несущественной и признать, что фьючерс оценен справедливо (кстати, чисто математический расчет даст нам дюрацию облигации в 730 лет, которая будет соответствовать 8.57%, конечно это связано с функцией, которую мы использовали для апроксимации). Вот так, можно оценить справедливость стоимости бессрочного фьючерса.
Однако, для валюты есть существенный нюанс. Теоретическая цена валютного фьючерса учитывает две безрисковые ставки:
Где:
F – фьючерсная цена
S – спот цена на рынке
irur – безрисковая ставка в рублях
iusd – безрисковая ставка в долларах США
t – количество дней до исполнения фьючерса
T – база дней в году 360/365
И в таком варианте ситуациям усложняется.
Не является индивидуальной инвестиционной рекомендацией | При копировании ссылка обязательна | Нашли ошибку - выделить и нажать Ctrl+Enter | Жалоба